把握好“合”與“分”,使計算概念教學落到實處

筆者結合實際教學經驗，以計算概念教學為載體，擬對小學數學計算概念教學中如何把握好“合”與“分”的基本思想構建計算知識網絡，使計算概念教學落到實處做分析研究。

一、把握好加減乘除意義建構中的“合”與“分”

縱觀計算概念，最基本、最原始的概念莫過于加減乘除的意義。它既是整個計算概念體系中的起始點，對整個體系起著統領的作用，又是數學幾大體系的綜合點，把不同體系的知識融會貫通，增強知識的“生成力”。加減乘除四則計算，往深處想，其實就是建立在“合”和“分”的思想上，只不過略有區別而已。“合”是相對“分”而言的，“分”是相對于“合”而言的，它們既互相聯系，又互相依存、互相制約。如下圖所示：

在計算概念的形成過程中，教師要抓住學生學習概念的起點，及時指導學生對一些相關概念進行對比、歸類，揭示概念之間的內在聯系，找出本質區別與聯系，使計算概念系統化、規律化。

如“除法的初步認識”是一節很重要的基礎概念課，教材的意圖是在建立“平均分”概念的基礎上引出除法的算式，說明除法算式各部分的名稱，理解除法的意義。除法跟乘法、減法有著密切的聯系，開始學加法，再在加法的基礎上建立乘法，乘法是加法的簡便運算，它們都表示“合”的過程。學了加法后再學減法，減法是加法的逆運算，有加才有減，教材中出現“一圖四式”的目的就是溝通它們之間的聯系。同時，繼乘法意義建立后學習除法，除法是乘法的逆運算，它和減法又有內在聯系，它們同樣是表示“分”的過程。因此，除法的學習是建立在加法、減法、乘法運算基礎上的，只有借助它們的概念思想，除法概念建立的內涵才更深刻，外延才更清晰。

在課堂教學中，教師應通過什么途徑讓學生建立除法的模型？從教材上看，一般直接從等分的情境中抽象出除法的模型來，可以說都是直線跳躍性。例如，等分的操作活動是一個點，除法模型的建立也是一個點，學生要從這個點到達那個點，讓兩個點之間建立關系，需要教師在中間帶領學生。案例如下：

1.除法模型建立的切入點依然是直觀的東西。

創設情境：小明要把12個竹筍平均分給4個小朋友，假如你是小華，你怎么分？（動手分，然后展示不同分法）

2.但不是從一頭（情境）跳到另一頭（除法模型的建立）。

學生思維過程的表達還是必要的，因為不同學生的經歷、起點均不同。課堂教學中，教師可要求學生把分的過程用學過的算式表示出來。

生1：12-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1=0。

生2： 3×4=12。

生3：12-2-2-2-2-1-1-1-1=0。

生4：3+3+3+3=12。

生5：12-4-4-4=0。

生6：2+2+2+2=8，1+1+1+1=4。

生7：12-3-3-3-3=0。

生8：（ ）×4=12。 （學生還想注明：4個幾是12）

生9：12÷4=3。

師：從他們的算式里，你有沒有看到他們手中的竹筍是怎樣分的呢？誰說說你看到了什么？

3.溝通。

師：剛才用這么多的算式表示了我們分的過程和想法，都是把12個竹筍平均分給4個小朋友，結果每人分到了3個。那么，這么多的算式哪一個更清楚地表示出了把12個竹筍平均分給4個小朋友，結果每人分到了3個呢？為什么？

4.全班交流比較討論。

生10：我覺得加法不好，加法表示把它們合起來，我們剛才是把竹筍分開來。

生11：那乘法也不行，它也是表示將4個3合起來了。

師：好像挺有道理的，減法呢？

生12：我覺得減法是可以的，它能把我們分的過程表示出來。如12-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1=0，就能看出是一個一個分的；12-2-2-2-2-1-1-1-1=0，就能看出先分兩個，還有多再分1個。（很多學生說可以，但有部分學生在思考）

生13：我覺得減法也可以，但沒有除法好，因為減法看不出是分給幾個人，每人分到了幾個。如從12-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1=0中，我們只知道他是一個一個拿的；可除法就知道把12個平分給了4個人，每人分到了3個，和12-2-2-2-2-1-1-1-1=0是一樣的。

生14：不是，那12-3-3-3-3=0也能看出平均分給4個人，每人分到3個。

師：好像都有道理，那怎么辦呢？有沒有一個算式既能清晰地表示小明要把12個竹筍平均分給4個小朋友，每人分到了3個，也能包含了我們的分法？

生15：那12÷4=3最好。

師：它怎么好？怎樣讓我們看出呢？

生16：12表示有12個竹筍，除法表示我們要平均分給4個小朋友，等于3嘛，表示結果每人分到了3個。

師（小結）：看來，無論怎么分，12÷4=3都能把12個竹筍平均分給4個小朋友，每人分到3個清楚地表示了出來。這就是今天我們新認識一種新的運算——除法。（板書課題）

生17：原來除法就是把竹筍分成一樣多，比如你3個、我3個、他3個，反正我們都一樣多的，就可以用除法了。

生18：我覺得除法和減法差不多，都是表示分開來，但是除法要分得一樣多。

……

在課堂中，教師不能忽略學生這種表述思維的過程，要讓每個學生在自己原有的知識體系上有所發展。也就是說，在活動與除法之間應該搭建溝通的橋梁，在學生充分的操作活動后，讓學生把分的過程用自己的符號或學過的算式表示出來，再比較溝通統一成除法表示分的過程，理解一個除法的算式是這樣等分活動過程中最佳符號的表達方式，無意識地溝通了四則運算之間的本質聯系。這樣給學生提供了建構一個新的概念體系的過程，形成計算知識的網絡體系。

二、把握好整數、分數計算過程中的“合”與“分”

“分”與“合”是整數、分數運算過程中本質的結構思想，而具體的內容是這個本質結構的多樣化表現。只要抓住這一點進行教學，學生就能舉一反三，靈活運用學到的知識。

（一）整數運算中的“分”與“合”

加法：15＋34=□運算中的思考過程首先是它們各自分成幾個十和幾個一，再把相同計數單位上的數相加后，再合起來。

減法：34－13＝□也是通過先分再合，即先分開3個十減去1個十得到2個十，把4個一減3個一得到1個一后，再把2個十和1個一合在一起。

乘法：12×4的思考過程是10×4＝40，2×4＝8，40＋8＝48。

寫成豎式為： 12

教學中結合情境讓學生理解8和4分別是怎樣算出來的，感悟各種算法的本質原理是一樣的，都是把它轉化成4個十和4個2再相加，只不過是表示的方法不一樣而已。通過這種先“分”再“合”的數學模型過程的建立，概念也就更清晰明了，有利于后繼學習三位數乘一位數、四位數……甚至到兩位數乘兩位數時，都是運用這種先“分”后“合”的數學模型來解決問題的。

（二）分數運算中的“分”與“合”

當學生學習分數乘、除法以后，形態是“合”，實質是“分”，或者形態上“分”，實質上是“合”這種互化就反映出來了。

在乘法中，如×2表示2個合起來；×表示的一半，實際上是÷2，這時乘法不再是求整體而是部分了，它在形式上是“合”，而實質上就是“分”的過程。

在除法中，如24÷4表示把24平均分成4等分，求每份是多少，它是分的過程；24÷表示什么數的是24，也就是24的4倍是96，這時除法不再是求部分而是整體，它在形式上是“分”，而實質上就是“合”的過程。

當然，矛盾的對立與統一，必須要在一定的條件下才能互相轉化。這里的“合”和“分”互相轉化的條件是因數或除數是小于1的分數。

總之，在計算概念教學中，教師應引導學生對知識點之間 “合”與“分” 的基本思想有一種實質的把握，加強新舊知識的縱向聯系，幫助學生形成一條具有系統性的計算知識鏈，使計算概念教學落到實處。

（責編 藍 天）