統(tǒng)計(jì)量中平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系

摘要：學(xué)生在學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)時(shí)，對平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量往往混淆不清，容易弄錯(cuò)，尤其表現(xiàn)在做練習(xí)中。因此，指導(dǎo)學(xué)生弄清它們之間的區(qū)別與聯(lián)系是非常必要的。

關(guān)鍵詞：平均數(shù)；眾數(shù)；中位數(shù)；區(qū)別與聯(lián)系

中圖分類號：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號：1009-010x（2012）11-0059-02

在小學(xué)六年級畢業(yè)復(fù)習(xí)過程中，當(dāng)講到“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容時(shí)，有些學(xué)生對其中的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的意義、區(qū)別和聯(lián)系、應(yīng)用等混淆不清，容易弄錯(cuò)。怎樣正確認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)量中的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系呢？

一、平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的意義

（一）平均數(shù)的意義

小學(xué)所學(xué)的平均數(shù)，指的是求一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)。而現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)課程里的平均數(shù)知識(shí)，重要的又不是算術(shù)平均數(shù)的定義，而是它所包含的統(tǒng)計(jì)意義。算術(shù)平均數(shù)是所有觀察值的總和除以總頻數(shù)（一組數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)）所得的商，簡稱平均數(shù)或均數(shù)、均值。算術(shù)平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常應(yīng)用而又最容易理解的一種集中量指標(biāo)。集中量是代表一組數(shù)據(jù)的典型水平或集中趨勢的量，它能反映頻數(shù)分布中大量數(shù)據(jù)向某一點(diǎn)集中的情況。但平均數(shù)易受兩極數(shù)值（極大或極小）的影響。

在小學(xué)三年級學(xué)習(xí)平均數(shù)時(shí)，是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的“總數(shù)量÷總份數(shù)：每份數(shù)”的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，求平均數(shù)的方法是“總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)”，前后兩者有著密切的聯(lián)系。但已學(xué)過的“總數(shù)量÷總份數(shù)=每份數(shù)”是指平均分。“平均數(shù)”與“平均分得的結(jié)果”不是一個(gè)概念。“平均分得的結(jié)果”是一個(gè)實(shí)實(shí)在在的數(shù)量，“平均數(shù)”則是表示統(tǒng)計(jì)對象的一般水平。這是學(xué)生很容易弄錯(cuò)、混淆的地方。

（二）眾數(shù)的意義

眾數(shù)指的是在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。眾數(shù)重點(diǎn)是對各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)的考察，是一組數(shù)據(jù)中的原始數(shù)據(jù)，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，但它在一定的條件下能反映這組數(shù)據(jù)的整體水平。當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，其眾數(shù)往往是我們關(guān)心的一種統(tǒng)計(jì)量。一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)有時(shí)不只一個(gè)，可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上。例如：在數(shù)據(jù)“2、1、6、3、2、3”中，2和3都出現(xiàn)了兩次，它們都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

（三）中位數(shù)的意義

中位數(shù)指的是把一組數(shù)據(jù)中的所有數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列之后，處于最中間位置的那一個(gè)數(shù)據(jù)（有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，則指最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。中位數(shù)只與數(shù)據(jù)排列的位置有關(guān)，一般來說，個(gè)別（或部分）數(shù)據(jù)的變動(dòng)對它的中位數(shù)沒有影響。當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用中位數(shù)來描述其集中的趨勢。例如：在\"30、7、15、17、9、28、20\"這組數(shù)據(jù)中，如果20變成104，它的平均數(shù)由18變?yōu)?0，顯然不能反映這組數(shù)據(jù)的一般水平，用中位數(shù)17顯然要更好一些。

二、平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系

（一）平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的區(qū)別

1.平均數(shù)是一個(gè)虛擬的數(shù)，即一組數(shù)據(jù)的和除以該組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得的商；而中位數(shù)并不完全是虛擬數(shù)，求中位數(shù)時(shí)必須分奇偶。

2.平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的大小變動(dòng)，都會(huì)引起平均數(shù)大小的改變；而中位數(shù)則僅與一組數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)。

3.平均數(shù)主要反映一組數(shù)據(jù)的平均水平（或總體水平），中位數(shù)能更好地反映一組數(shù)據(jù)的一般水平。這是因?yàn)槿绻唤M數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)嚴(yán)重偏大時(shí)，平均數(shù)也偏大，不能很好地代表該組數(shù)據(jù)的一般水平；而中位數(shù)則能克服這種弊病，很好地反映這組數(shù)據(jù)的一般水平。所以，當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小時(shí)，用中位數(shù)來描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢就比較合適。

4.中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)。一般來說，部分?jǐn)?shù)據(jù)的變動(dòng)對它的中位數(shù)沒有影響。當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用中位數(shù)來描述其集中的趨勢。

5.眾數(shù)著眼于對各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)的考察，是一組數(shù)據(jù)中的原始數(shù)據(jù)，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，但它在一定的條件下能反映這組數(shù)據(jù)的整體水平，近似于中位數(shù)。

6.在同一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)也各有其特性：中位數(shù)與平均數(shù)都是唯一存在的，而眾數(shù)不是唯一的，眾數(shù)的個(gè)數(shù)可以有一個(gè)或幾個(gè)，也可以一個(gè)也沒有；平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)在一般情況下各不相等，但在特殊的情況下也可能相等。例如：在“5、5、5、5、5、5、5、5”這組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)是相等的，都是5。

（二）平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的聯(lián)系

平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述（或反映）一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，都叫統(tǒng)計(jì)量，它們在統(tǒng)計(jì)中，有著廣泛的應(yīng)用。

平均數(shù)非常明顯的優(yōu)點(diǎn)之一是：它能夠利用所有數(shù)據(jù)的特征，并且好計(jì)算。另外，在數(shù)學(xué)中，平均數(shù)是使誤差平方達(dá)到最小的統(tǒng)計(jì)量。也就是說，利用平均數(shù)代表數(shù)據(jù)，可以使二次損失最小。因此，平均數(shù)在數(shù)學(xué)中是一個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量。但是平均數(shù)也有不足之處，正是因?yàn)樗昧怂袛?shù)據(jù)的信息，所以容易受極端數(shù)據(jù)的影響。例如：在一個(gè)年輕教師占多數(shù)的學(xué)校教職工中，有兩個(gè)老教師的工資特別高，就會(huì)使得這個(gè)學(xué)校中所有教師工資的平均水平也表現(xiàn)得很高，但實(shí)際上，除去這兩個(gè)老教師外，剩余教師的平均工資并不是很高。這時(shí)，中位數(shù)和眾數(shù)可能是表現(xiàn)這個(gè)學(xué)校所有教師工資平均水平更合理的統(tǒng)計(jì)量。中位數(shù)和眾數(shù)這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量的特點(diǎn)都是能夠避免極端數(shù)據(jù)，但缺點(diǎn)是沒有完全利用數(shù)據(jù)所反映出來的信息。由于各個(gè)統(tǒng)計(jì)量有各自的特征，所以，需要根據(jù)實(shí)際問題來選擇合適的統(tǒng)計(jì)量。

當(dāng)然，出現(xiàn)極端數(shù)據(jù)不一定用中位數(shù)，一般統(tǒng)計(jì)上有一個(gè)方法，就要認(rèn)為這個(gè)數(shù)據(jù)不是來源于這個(gè)總體的，因而要把這個(gè)數(shù)據(jù)去掉。例如：在“六·一”兒童節(jié)活動(dòng)中進(jìn)行歌詠比賽評分時(shí)，總是要在幾個(gè)評委的評分中去掉一個(gè)最高分，一個(gè)最低分，就是認(rèn)為這兩個(gè)分?jǐn)?shù)不是來源于這個(gè)總體，不能代表評委的鑒賞能力。于是，去掉以后再求剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

最后需要說明的是：在現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，并沒有給平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)下準(zhǔn)確的定義，并且，統(tǒng)計(jì)學(xué)中也不只有這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量，數(shù)學(xué)中還有諸如方差、加權(quán)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等許多用來刻畫數(shù)據(jù)特征的統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)然，這些都是作為教師感興趣、值得了解的內(nèi)容，不是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)所要求的。