隱含條件深挖掘 思考問題要縝密

忽視隱含條件常使解題受阻，挖掘隱含條件是正確、迅速解題的關鍵.當我們面對有多種可能的問題時，要注意縝密思考，謹防漏解，正確分類是避免考慮不周、造成漏解的良策.

圖1

例1 （1） （泰州卷第16題）如圖1，△ABC的3個頂點都在5×5的網格（每個小正方形的邊長均為1個單位長度）的格點上，將△ABC繞點B順時針旋轉到△A′BC′的位置，且點A′、C′仍落在格點上，則線段AB掃過的圖形面積是 平方單位（結果保留π）.

（2） （泰州卷第21題）一只不透明的袋子中裝有2個白球和1個紅球，這些球除顏色外其余都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋中并攪勻，再從中任意摸出1個球.請用畫樹狀圖的方法列出所有可能的結果，并寫出兩次摸出的球顏色相同的概率.

（1） 誤認為∠ABA′是個一般角而無法計算出線段AB掃過的圖形面積；也有考生將旋轉角看成∠CBA′而出現錯誤.事實上，本題中線段AB繞點B順時針旋轉到BA′，旋轉了90°，因此線段AB掃過的圖形面積是圓面積的四分之一，這個圓的半徑的平方為13，所以線段AB掃過的圖形面積是134π平方單位.

（2） 忽視問題中白球和紅球的個數不同這個隱含條件，誤認為在一次摸球中出現白球和紅球是等可能事件，于是用畫樹狀圖列出的所有可能結果為（白，白），（白，紅），（紅，白），（紅，紅），得出兩次摸出的球顏色相同的概率為12.本題中不同顏色的球的數量互不相同，則兩次摸球的結果有多種可能，且摸出相同顏色的球的機會大小不等，解題時要把同一顏色的不同的球編號，然后畫出樹狀圖（如圖2），才可得到正確答案P（顏色相同）=59.

圖2

在復習中，要從多角度分析問題，挖掘隱含條件，并靈活應用隱含條件來解決問題.要通過典型問題的探討，學會挖掘題目中的隱含條件，從數式、圖形中汲取有用的信息，并靈活地對它們進行取舍，為順利解題創造條件.

圖3

例2 （泰州卷第18題）如圖3，平面內4條直線l1、l2、 l3、 l4是一組平行線，相鄰2條平行線的距離都是1個單位長度，正方形ABCD的4個頂點A、B、C、D都在這些平行線上，其中點A、C分別在直線l1和l4上，該正方形的面積是 平方單位.

將題目中的“正方形ABCD的4個頂點A、B、C、D都在這些平行線上”，誤解為“正方形ABCD的四個頂點A、B、C、D分別在這四條平行線上”，從而得到圖4，該正方形的面積是為5平方單位；其實，圖5中的正方形也滿足要求，此時該正方形的面積是9平方單位，所以正確答案為5或9. 本題主要考查正方形、全等三角形等知識和分類思想，以及常用的輔助線.對于圖4中的正方形，求其面積的思路是：過點D作l2的垂線，交l1和l4于點E和F，則EF⊥l1，EF⊥l4.由∠ADE+∠CDF=90°，∠ADE+∠EAD=90°，∴ ∠EAD=∠CDF，又AD=DC，所以Rt△ADE≌Rt△DCF，且AE=DF=2，又DE=1，所以正方形的面積=AD2=AE2+DE2=4+1=5.

圖4

圖5

在復習中，要重視文字語言、圖形語言和符號語言之間的相互轉化，學會全方位、多角度、深層次地思考問題，注意考慮圖形位置的多種可能性、點的位置的特殊性、答案的不唯一性等，做到周密思考，全面求解.