動態(tài)（幾何）綜合題

探究動態(tài)（幾何）問題，關(guān)鍵是動靜互化，其中“靜”是“動”的瞬間，是運動過程中的一種特殊狀態(tài)，抓住瞬間的“靜”就可以轉(zhuǎn)化出熟悉的幾何圖形.同學(xué)們在學(xué)習(xí)研究“形”動的過程中更要有積極的“心”動.下面舉例說明幾類動態(tài)綜合題的解法.

1. 動點與幾何圖形

例1 （2010廣西柳州）如圖1，AB是⊙O的直徑，弦BC=2 cm， F是弦BC的中點，∠ABC=60°.若點E以2 cm/s的速度從A點出發(fā)沿著A→B→A的方向運動，設(shè)運動時間為t（s）（0≤t<3），連接EF，當(dāng)t值為 s時，△BEF是直角三角形.

圖1

解析 動點E在直徑AB上往返一次，所以分階段考慮:

從A到B的運動中，E與O重合，根據(jù)垂徑定理可知∠EFB=90°，此時AO=2 cm，t=1（s）；

點E過O后到達(dá)E′處（作F E′⊥ AB，垂足為E′），可得∠FE′B=90°，此時A E′=35 cm， t=175（s）；

出現(xiàn)在返程中，點E再次運動到E′處，此時點E運動的路程為AB+BE′=4.5 cm，得t=2.25（s）；

點E又回到O處，此時點E運動的路程為6 cm，得t=3（s）.但不合題意，舍去.

所以當(dāng)t值為1 s，1.75 s，2.25 s時，△BEF是直角三角形.

點評 本題主要用到了垂徑定理和直徑所對圓周角是直角兩個結(jié)論，動點E的路徑要分段討論.由于∠ABC=60°，所以△BEF成為直角三角形只需考慮∠BFE=90°和∠BEF=90°.

圖2

例2 （2011云南昆明）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10 cm，AC∶BC=4∶3，點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運動，速度為1 cm/s，同時點Q從點B出發(fā)沿B→C→A方向向點A運動，速度為2 cm/s，當(dāng)一個運動點到達(dá)終點時，另一個運動點也隨之停止運動.

（1） 求AC、BC的長；

（2） 設(shè)點P的運動時間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm2），當(dāng)△PBQ存在時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3） 當(dāng)點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC是否相似，請說明理由；

（4） 當(dāng)x=5秒時，在直線PQ上是否存在一點M，使△BCM的周長最小，若存在，求出最小周長，若不存在，請說明理由.

解析 （1） 略，（2） 因動點P總在上AB運動，PB=10-x，（0＜x≤10）.當(dāng)動點Q在BC上運動時，BQ=2x（0＜x≤3），見圖①；當(dāng)動點Q運動到CA上時，AQ=14-2x（3＜x＜7），見圖②.

利用相似三角形求出圖①中QH=85x，圖②中QH′=35（14-2x）.

∴ y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-45x2+8x(0 35x2-515x+5(3 （3） 要判斷以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC是否相似，由于∠QPB=∠ACB=90°，∠QBP總小于∠ABC，因此只需討論一種情況：△BQP∽△ABC（見圖③）.由△APQ∽△ABC，求得PQ=34t，通過△BQP∽△ABC，得34t10-t=68，t=53<3， ∴ 當(dāng)點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC不相似.

（4） 存在.當(dāng)x=5時，PQ變成△ABC的中位線，∴ PQ∥BC，此時，PQ⊥AC，∴ PQ是AC的垂直平分線.設(shè)M為PQ上任一點（圖④），則△BCM的周長等于BC+CM+MB=BC+AM+MB≥BC+AP+PB=BC+CP+PB.

點評 當(dāng)兩個動點一起出發(fā)時，首先要關(guān)注各點運動的路線，善于借用“靜”的位置，其次要學(xué)會用含x的代數(shù)式表示各相關(guān)線段.希望同學(xué)們熟悉本題中的基本圖形（如圖⑤、圖⑥），基本圖形的確認(rèn)可以縮短思考的過程.

2. 動點與函數(shù)圖象

例3 （2011安徽）如圖3所示，P是菱形ABCD的對角線AC上一動點，過P垂直于AC的直線交菱形ABCD的邊于M、N兩點，設(shè)AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象的大致形狀是

（ ）

解析 從選項中可以讀出圖象可能是直線或拋物線，所以要對y關(guān)于x的函數(shù)圖象類型作判斷：（1） 當(dāng)點P在BD左邊，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比得MN=x，可求出y=12x2（0≤x≤1）；（2） 當(dāng)點P在BD右邊，同樣方法求出MN=2-x，y=-12x2+x（1 點評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和利用三角形面積公式建立函數(shù)模型，在解題過程中，同學(xué)們要注意兩點：（1） 分類要清晰，要考慮MN是在BD的左邊還是在右邊；（2） AP的長已經(jīng)是△AMN為高，解決問題的關(guān)鍵就轉(zhuǎn)到了能否求出△AMN的底.用△AMN∽△ABD，△CMN∽△CBD（如圖虛線部分），就可分別求得MN的長（用含x的式子表示）.

例4 （2011浙江嘉興）已知直線y=kx+3（k＜0）分別交x軸、y軸于A、B兩點，線段OA上有一動點P由原點O向點A運動，速度為每秒1個單位長度，過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，設(shè)運動時間為t秒.

（1） 當(dāng)k=-1時，線段OA上另有一動點Q由點A向點O運動，它與點P以相同速度同時出發(fā)，當(dāng)點P到達(dá)點A時兩點同時停止運動（如圖①）.

① 直接寫出t＝1秒時C、Q兩點的坐標(biāo)；

② 若以Q、C、A為頂點的三角形與△AOB相似，求t的值.

（2） 當(dāng)k=-34時，設(shè)以C為頂點的拋物線y=(x+m)2+n與直線AB的另一交點為D（如圖②），① 求CD的長；② 設(shè)△COD的OC邊上的高為h，當(dāng)t為何值時，h的值最大？

圖4

解析 第（1）題中，當(dāng)k=-1時，得∠BAO＝∠ABO＝45°.第②小題中以Q、C、A為頂點的三角形成為一個直角三角形有兩種情形：（1） 當(dāng)∠AQC=90°時，點Q與點P重合，OQ=OP，即3-t=t，∴ t=1.5.（2） 當(dāng)∠ACQ=90°時，點Q在點P左邊.∵ △ACQ是等腰直角三角形，∴ AQ=2CP，即t＝2（-t+3），∴ t=2.∴ 滿足條件的t的值是1.5秒或2秒.

第（2）題中①小題，當(dāng)k=-34時，將C為頂點的拋物線關(guān)系式中的m、n轉(zhuǎn)化為含t的表達(dá)式，得Ct，-34t+3，∴ 以C為頂點的拋物線解析式是y=(x-t)2-34t+3.然后求出交點D的坐標(biāo)，由(x-t)2-34t+3=-34x+3，解得x1=t，x2=t-34，∴ Dt-34，-34t+5716，∴ CD=1516.

②小題中，∵ CD=1516，CD邊上的高=3×45=125.∴ S△COD=12×1516×125=98.∴ S△COD為定值.要使OC邊上的高h(yuǎn)的值最大，只要OC最短.因為當(dāng)OC⊥AB時OC最短，此時OC的長為125，利用Rt△PCO∽Rt△OAB得OP=OC×BOBA=125×35=3625，即t=3625.

∴ 當(dāng)t為3625秒時，h的值最大.

點評 本題首先要關(guān)注兩個變化，一是點P、點Q和點C的位置變化；二是k的取值變化.還要關(guān)注三個轉(zhuǎn)化，一是將不同的字母能夠轉(zhuǎn)化成同一個字母的表達(dá)式，便于下一步的求值計算；二是函數(shù)中有關(guān)線段長度的計算可以轉(zhuǎn)化到相似三角形中去尋求解決途徑，相對用代數(shù)方法解決有時要快捷許多；三是問題解決思路的轉(zhuǎn)換，比如最后一問t為何值時，h的值最大，轉(zhuǎn)化為求OC最短去解決.“轉(zhuǎn)換”也是同學(xué)們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中需要重視的一個思想.

圖5

3. 圖形平移

例5 （2011湖北黃岡）如圖5，把Rt△ABC放在直角坐標(biāo)系內(nèi)，其中∠CAB=90°，BC=5，點A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）、（4，0），將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點C落在直線y=2x-6上時，線段BC掃過的面積為

（ ）

A 4B 8

C 16D 82

解析 根據(jù)條件可以將Rt△ABC的另外兩邊求出來，即AB=3，AC=4，同時得點C坐標(biāo)為（1，4）.然后畫出平移后的圖形，觀察線段BC掃過后留下的圖形是不是我們熟悉的圖形，再根據(jù)圖形形狀選擇面積計算方法.將△ABC沿x軸向右平移，點C的縱坐標(biāo)沒有變化，當(dāng)點C落在直線y=2x-6上時，可以求出新位置點C的坐標(biāo)為（5，4）.具體解答過程請同學(xué)們自己完成（答案C）.

例6 （2011山東煙臺）如圖6，△ABC中AB=AC，BC=6，點D為BC的中點，連接AD，AD=4，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E.

（1） 試判斷四邊形ADCE的形狀并說明理由.

（2） 將四邊形ADCE沿CB以每秒1個單位長度的速度向左平移，設(shè)移動時間為t（0≤t≤6）秒，平移后的四邊形A′D′C′E′與△ABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍.

解析 （1） 四邊形ADCE的形狀是矩形；（2） 在平移過程中圖形是有變化的，有兩種可能：五邊形（0≤t<3，圖7）；三角形（3≤t≤6，圖8）

圖6

圖7 圖8

在圖7中，用t的代數(shù)式分別表示相關(guān)線段長，CC′=t，BD′=3-t.由△CC′Q∽△CDA，得C′Q=43t，由△BD′P∽△BDA，得PD′=43（3-t）.最后計算重疊部分面積，圖7中S=-43t2+4t+6（0≤t<3），圖8中S=23(6-t)2（3≤t≤6）.

點評 圖形在平移過程中重疊部分的形狀在變化，關(guān)鍵是先分類然后再把要用到的線段長用含t的式子表示出來.圖形面積計算除了利用基本圖形的面積公式直接計算外，還可以考慮“割”或“補”去求面積.

圖9

4. 圖形旋轉(zhuǎn)

例7 （2011遼寧大連）如圖9，等腰直角三角形ABC的直角邊AB的長為6 cm，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°后得到△AB′C′，則圖中陰影部分面積等于 cm2.

解析 將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°后，圖中∠B′ AC為30°，這樣求圖中陰影部分面積就是求一個內(nèi)角為30°，一條直角邊為6 cm的直角三角形面積.請同學(xué)們自己做一做.

例8 （2010遼寧撫順）如圖10所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8.半徑為3的⊙M與射線BA相切，切點為N，且AN=3.將Rt△ABC順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到Rt△ADE，點B、C的對應(yīng)點分別是點D、E.

圖10

（1） 畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△ADE，求出Rt△ADE 的直角邊DE被⊙M截得的弦PQ的長度；

（2） 判斷Rt△ADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由.

圖11

解析 （1） 由∠BAC=60°，知∠NAC=120°，所以將Rt△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°后點C落在射線BA上（點C對應(yīng)點是點E）.圖11中的Rt△ADE就是滿足要求的圖形.連接MQ，作M G⊥DE于G，構(gòu)造出一個Rt△MGQ.其中MG=NE=4-3=1，利用勾股定理求得GQ=2，根據(jù)垂徑定理知GQ就是弦長PQ的一半，∴ 弦PQ的長度為22.

（2） 要判斷Rt△ADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關(guān)系，則要求出圓心M到斜邊AD所在的直線的距離.作MH⊥AD于H（圖11）.

方法1 利用面積法，連接AM、MD、ME，∵ 12MH·AD+12AE·MN+12MG·DE=12AE·DE，∴ MH=3.∴ MH=MN，AD與⊙M相切.

方法2 在Rt△AMN中，∠MAN=30°.∵ ∠DAE=∠BAC=60°，∴ ∠MAD=30°，∴ ∠MAN=∠MAD=30°.∴ MH=MN，∴ AD與⊙M相切.

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)知識，旋轉(zhuǎn)中要注意三要素：旋轉(zhuǎn)的方向，旋轉(zhuǎn)的角度，旋轉(zhuǎn)的半徑.解決（2）問抓住兩點即可：其一，要求弦長，一般過圓心作弦的垂線段后構(gòu)造一個直角三角形解決（一條斜邊為半徑，一條直角邊為弦的一半）；其二，判斷直線與圓的位置關(guān)系要“3定”，一定圓心，二定半徑，三定圓心到直線的距離.