圖形折疊問題

圖形折疊類問題是近年各地中考必考內(nèi)容之一，已成為中考熱點.折疊型問題立意新穎，變換巧妙，對培養(yǎng)同學們的識圖能力和靈活運用數(shù)學知識解決問題的能力都有非常重要的作用. 解決這類問題的關鍵是要弄清折疊前后圖形的對應關系.

圖1

例1 （2011貴州畢節(jié)）如圖1，將半徑為2 cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為

（ ）

A 2 cm B 3 cm C 23 cm D 25 cm

分析 通過連接半徑和作弦的垂線，在圖中構建直角三角形，根據(jù)勾股定理得AD的長，再根據(jù)垂徑定理得AB的長.

解析 作OD⊥AB于D，連接OA.由折紙可得OD=12OA=1 cm，在Rt△OAD中，由勾股定理得AD=3 cm，∵ OD⊥AB，∴ AB=2AD=23 cm.故選C.

點評 由折疊得出OD=12OA=1是解題的關鍵.

圖2

例2 (2011福建三明)如圖2，在正方形紙片ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，將圖形沿過點B的直線折疊，使點C落在EF上，落點為N，折痕交CD邊于點M，BM與EF交于點P，再展開.則下列結論中：① CM＝DM；② ∠ABN＝30°；③ AB2=3CM2；④ △PMN是等邊三角形.正確的有

（ ）

A 1個B 2個C 3個D 4個

解析 ∵ E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，∴ EF∥AB，由此可得EF⊥BC.∵ BF=12BC=12BN，∴ 在直角三角形BFN中，sin∠BNF=BFBN=12，∠BNF=30°，∠NBF=60°，∠ABN＝30°，答案②正確.又∠CBM=∠NBM＝30°，∴ BCCM=3，即BC2=3CM2，答案③正確.又CM=32BC=32DC，DM=1-32DC，∴ 答案①CM＝DM不正確.又∠CMB=∠NMB=60°，∠PNM=90°-30°=60°，∴ 答案④△PMN是等邊三角形正確.正確答案選C.

點評 注意折疊前后的相等線段、相等的角，是解決本題的關鍵.

圖3

例3 （2011四川內(nèi)江）如圖3，在直角坐標系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為（1，3），將矩形沿對角線AC翻折，B點落在D點的位置，且AD交y軸于點E.那么點D的坐標為

（ ）

A -45，125 B -25，135 C -12，135 D -35，125

分析 由折疊的性質，確定出△AEC是等腰三角形，由勾股定理求出AE的長，再求EC的長，然后根據(jù)相似或三角函數(shù)求出D點的坐標.

解析 作DM⊥x軸，垂足為M，由折疊可得∠CAB=∠CAD，由AB∥OC，∠CAB=∠ACO，知∠ACO=∠CAD，∴ EA=EC.設EC=AE=a，則OE=3-a，在直角三角形OAE中，由勾股定理得(3-a)2+12=a2，解得a=53，即EC=AE=53，所以，OE=3-53=43；設D（x，y），sin∠EAO＝OEAE=DMAD，即4353=y3，y=125，又tan∠EAO=OEOA=DMAM，即431=125-x+1，∴ x=-45，選A.

點評 有角平分線和平行線的條件可得到等腰三角形；而在直角坐標系中求點的坐標時，常用三角函數(shù)的定義或三角形相似列出比例式進行求解.

例4 (2011貴州遵義）把矩形ABCD紙片按如圖4方式折疊，使點A與點E重合，點C與點F重合（E、F兩點均在BD上），折痕分別為BH、DG.

圖4

（1） 求證：△BHE≌△DGF；

（2） 若AB＝6 cm，BC＝8 cm，求線段FG的長.

解析 （1） ∵ 四邊形ABCD是矩形，∴ AB=CD，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC，由折疊，得∠1=∠2，∠A=∠HEB=90°，AB=BE，∠3=∠4，∠C=∠DFG=90°，CD=DF，∴ ∠HEB=∠DFG，BE=DF，∠2=∠4，∴ △BEH≌△DFG.

（2） ∵ 四邊形ABCD是矩形，AB=6 cm，BC=8 cm， 由勾股定理，得BD=10 cm，∴ BF=10-6=4 cm.設FG=x，則BG=8-x，在Rt△BGF中，(8-x)2=42+x2，解得x=3，即FG=3 cm.

點評 把握住折疊前后圖形的形狀和大小不變、位置變化，以及對應邊和對應角相等，便可順利解題.

例5 （2011廣東深圳）如圖5，一張矩形紙片ABCD，其中AD＝8 cm，AB＝6 cm，先沿對角線BD對折，點C落在點C′的位置，BC′交AD于點G.

（1） 求證：AG=C′G；

（2） 如圖6，再折疊一次，使點D與點A重合，得折痕EN，EN交AD于點M，求EM的長.

分析 （1） 由BD是∠CBC′的角平分線、矩形的性質可得AD=BC=BC′，∠1=∠2=∠3，由等腰三角形性質，得GB=GD，從而AG=C′G；（2） 在Rt△C′DG中，利用勾股定理先求出C′G的長度，再求EM的長度.

解析 （1） 如圖5，由圖形的對稱性可知，BC=BC′，∠1=∠2.

∵ 四邊形ABCD為矩形，∴ AD=BC，AD∥BC，∴ ∠2=∠3，從而∠1=∠3，GB=GD.

又AD=BC′，∴ AG=C′G.

圖5

圖6

圖7

（2） 如圖6，設AG＝x，則有C′G＝x，DG＝8-x，DM=12AD=4 cm.在Rt△C′DG中，∠DC′G＝90°，C′D＝CD＝6 cm，∴ C′G2+C′D2＝DG2，即x2+62＝（8-x）2，解得x=74.在Rt△DME和Rt△DC′G，tan∠EDM=EMMD=C′GC′D，即EM4=746，EM＝76.

例6 （2011甘肅蘭州）將圖7中的矩形紙片ABCD(AD＞AB)折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連接AF和CE.

（1） 求證：四邊形AFCE是菱形；

（2） 若AE=10 cm，△ABF的面積為24 cm2，求△ABF的周長；

（3） 在線段AC上是否存在一點P，使得2AE2=AC·AP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由.

分析 （1） 折痕EF實際上是A、C兩點的對稱軸，所以，OA=OC，AC⊥EF，再證OE=OF，所以四邊形AECF為菱形；（2） 由△ABF的面積為24 cm2，可得AB·BF=48，再由AE=AF=10 cm，建立方程，求出AB、BF或AB+BF的長，從而求出△ABF的周長；（3） 在線段AC上找一點P，使得2AE2=AC·AP，即在線段AC上找一點P，使AE2=AO·AP，即證AOAE=AEAP.

解析 （1） 如圖7，由折疊，知OA＝OC，EF⊥AO.

∵ 四邊形ABCD是矩形，∴ AD∥BC，∴ △AOE∽COF，OEOF=OAOC=1，∴ OE=OF，∴ 四邊形AECF是平行四邊形，又AC⊥EF，∴ 四邊形AECF是菱形.

（2） ∵ 四邊形AECF是菱形，∴ AE=AF=10 cm.設AB＝ａ，BF＝ｂ，∵ △ABF的面積為24 cm2，∴ 12ab=24，ab=48，又a2+b2=102，∴ (a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196，又a+b＞0，∴ a+b=14， △ABF的周長為ａ+ｂ+10＝24 cm.

圖8

（3） 如圖8，過點E作AD的垂線，交AC于點P，點P就是符合條件的點. ∵ ∠AEP＝∠AOE＝90°，在Rt△EAO和Rt△EAP， cos∠EAO=AOAE=AEAP， ∴ AE2＝AO·AP， 即2AE2＝2AO·AP=AC·AP.

點評 本題考查對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，求三角形的周長時，考查的是整體思想和由比例確定相似三角形以及三角函數(shù)的定義等相關知識.

例7 （2011山東威海）如圖9，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1，AB=CD=5.在矩形ABCD的邊AB上取一點M，在CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK，如圖10.

圖9

圖10

圖11

圖12

（1） 若∠1=70°，求∠MKN的度數(shù)；

（2） △MNK的面積能否小于12？若能，求出此時∠1的度數(shù)；若不能，試說明理由；

（3） 如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請你畫圖探究可能出現(xiàn)的情況，求最大值.

分析 （1） 根據(jù)矩形的對邊平行、兩直線平行、內(nèi)錯角相等，可得∠KNM=70°，由折疊的性質得∠KMN=70°，根據(jù)三角形內(nèi)角和可求∠MKN的度數(shù).（2） 過M點作ME⊥DN，垂足為E，通過證明NK≥1，由三角形面積公式可得△MNK的面積不可能小于12.（3） 情況1：將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合；情況2：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC.分兩種情況討論求解.

解析 （1） 如圖10，∵ 四邊形ABCD是矩形，∴ AM∥DN.∵ ∠KNM=∠1=70°，∠KMN=∠1=70°，∴ ∠MKN=180°-70°-70°=40°.

（2） 如圖10，過M點作ME⊥DN，垂足為E，則ME=AD=1.

∵ ∠KNM=∠KMN，∴ MK=NK，又MK≥ME=1，∴ NK≥1.

∴ △MNK的面積=12NK·ME=12NK≥12.∴ △MNK的面積不可能小于12.

（3） 情況1：如圖11，將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合.MK=MD=x，則AM=5-x.由勾股定理得 12+(5-x)2=x2，解得x=2.6.

∴ MD=ND=2.6，S△MNK=S△MND=1×2.62=1.3.

情況2：如圖12，將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC.設MK=AK=CK=y，則DK=5-y.由勾股定理得 12+(5-y)2=y2，解得y=2.6.MK=NK=2.6.∵ MD=1，∴ S△MNK=1×2.62=1.3.∴ △MNK的面積最大值為1.3.

點評 本題考查了翻折變換（折疊問題）、矩形的性質、勾股定理、三角形的面積計算、分類思想的靈活運用等，綜合性較強，有一定的難度.