方案設計題

方案設計題常常以費用最少、用料最少、得到的價值最多為追求目標，或以圖形的設計、測量方法的選用為背景，考查同學們解決實際問題的能力.現以2011年中考試題為例加以說明，以期對同學們復習有所幫助.

一、 利用方程(組)、函數進行方案設計

例1 (2011黑龍江綏化)某班為籌備運動會，準備用365元購買兩種運動服，其中甲種運動服20元/套，乙種運動服35元/套，在錢都用盡的條件下，有 種購買方案.

解析 不妨設購買甲、乙兩種運動服分別為x套和y套(x、y為正整數)，依題意，得20x+35y=365，整理，得4x+7y=73，y=73-4x7=11-4(x+1)7≥1.∵ x、y為正整數，∴ x+1是7的倍數，∴ 73-4x≥7，

x+1=7k (k為正整數).解得17≤k≤52，∴ 整數k=1或2，所以x=6，

y=7或x=13，

y=3.故有兩種購買方案.

點評 本題以購買運動服為問題背景，考查了同學們對實際問題建立數學模型的能力.本題實際上是一道二元一次不定方程的實際問題，要能夠靈活根據未知量的非負性、整數性和整除性等特定關系來求解，從而確定解決問題的方案.

例2 (2011福建三明)海峽兩岸林業博覽會連續六屆在三明市成功舉辦，三明市的林產品在國內外的知名度得到了進一步提升.現有一位外商計劃來該市購買一批某品牌的木地板，甲、乙兩經銷商都經營標價為每平方米220元的該品牌木地板.經過協商，甲經銷商表示可按標價的9.5折優惠；乙經銷商表示不超過500平方米的部分按標價購買，超過500平方米的部分按標價的9折優惠.

（1） 設購買木地板x平方米，選擇甲經銷商時，所需費用為y1元，選擇乙經銷商時，所需費用為y2元，請分別寫出y1、y2與x之間的函數關系式；

（2） 請問該外商選擇哪個經銷商購買更合算？

解析 （1） 如果選擇甲經銷商，不論購買木地板多少平方米，都是95折，即y1=095×220x＝209x；如果選擇乙經銷商，有兩種情況，不超過500平方米沒有優惠，即y2=220x（x≤500），超過500平方米，超過的部分是9折，即y2=220×500+0.9×220(x-500)，即y2=198 x+11 000（x＞500）.

（2） 先對x的值分情況討論，再對函數值分y1＜y2、y1=y2、y1＞y2三種情況來討論.

當0＜x≤500時，209x＜220x，選擇甲經銷商.當x＞500時，由y1＜y2，即209 x＜198 x+11 000，得x＜1 000；由y1=y2，即209 x=198 x+11 000，得x=1 000；由y1＞y2，即209 x＞198 x+11 000，得x＞1 000.綜上所述，當500＜x＜1 000時，選擇甲經銷商；當x=1 000時，選擇甲、乙經銷商一樣；當x＞1 000時，選擇乙經銷商.

點評 解答本題的關鍵在于根據實際問題建立一次函數關系式，并比較兩個一次函數值的大小，再根據所得函數自變量的取值范圍，確定購買木地板的方案.

例3 (2011福建莆田)某高科技公司根據市場需求，計劃生產A、B兩種型號的醫療器械，其部分信息如下：

信息一：A、B兩種型號的醫療器械共生產80臺.

信息二：該公司所籌生產醫療器械資金不少于1800萬元，不超過1810萬元，且把所籌資金全部用于生產此兩種醫療器械.

信息三：A、B兩種醫療器械的生產成本和售價如下表：

型 號 A B

成本(萬元/臺) 20 25

售價(萬元/臺) 24 30

根據上述信息，解答下列問題：

（1） 該公司對此兩種醫療器械有哪幾種生產方案？哪種生產方案能獲得最大利潤？

（2） 根據市場調查，每臺A型醫療器械的售價將會提高a萬元(a＞0)，每臺B型醫療器械的售價不會改變，該公司應該如何生產可以獲得最大利潤？(注：利潤=售價-成本)

解析 （1） 設生產A種醫療器械為x臺，列出關于x的不等式組為：20x+25(80-x)≥1 800，

20x+25(80-x)≤1 810.解得38≤x≤40，在取值范圍內確定三種方案.方案一：生產A種器械38臺，B種器械42臺；方案二：生產A種器械39臺，B種器械41臺；方案三：生產A種器械40臺，B種器械40臺.再根據公司獲得利潤W與x之間的函數關系式W=(24-20)x+(30-25)(80-x)=-x+400，確定當x=38時，W有最大值，則當生產A種器械38臺，B種器械42臺時獲得最大利潤.

（2） 根據條件，我們可以建立利潤W與x之間的函數關系式W=(4+a)x+5(80-x)=(a-1)x+400，則當a-1＞0，即a＞1時，生產A種器械40臺，B種器械40臺，獲得最大利潤；當a-1=0，即a=1時，（1）中三種方案利潤都為400萬元；當a-1＜0，即0＜a＜1時，生產A種器械38臺，B種器械42臺，獲得最大利潤.

點評 本題考查了同學們根據問題中變量之間的關系，建立適當的函數關系式，并靈活應用函數的性質確定函數最值的能力.在問題中自變量含有待定系數時，一定要分情況加以討論后，再根據函數的性質確定問題解決的方案.

二、 操作中的方案設計問題

例4 (2011福建漳州)圖1是2002年在北京舉辦的世界數學家大會的會標“弦圖”，它既標志著中國古代的數學成就，又像一只轉動著的風車，歡迎世界各地的數學家們.

請將“弦圖”中的四個直角三角形通過你所學過的圖形變化，在一張方格紙中設計另外兩個不同的圖案.畫圖要求：（1） 每個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形互不重疊；（2） 所設計的圖案（不含方格紙）必須是中心對稱圖形或軸對稱圖形.

圖1

分析 設計圖案時，必須以四個直角三角形為材料，同時滿足下列兩個條件：（1） 每個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形互不重疊；（2） 所設計的圖案(不含方格紙)必須是中心對稱圖形或軸對稱圖形.圖2給出三種備選設計方案.

圖2

點評 本題是一道實際動手操作的方案設計題，以勾股定理為載體著重考查同學們對軸對稱和中心對稱概念的掌握以及動手畫圖的能力.

圖3

鏈接 如圖3，甲類紙片是邊長為2的正方形，乙類紙片是邊長為1的正方形，丙類紙片是長、寬分別為2和1的長方形.現有甲類紙片1張，乙類紙片4張，則應至少取丙類紙片幾張，才能用它們拼成一個新的正方形呢？同學們不妨自己動手試一試.

三、 測量中的方案設計問題

圖4

例5 (2011四川宜賓)如圖4，飛機沿水平方向(A、B兩點所在直線)飛行，前方有一座高山，為了避免飛機飛行過低，就必須測量山頂M到飛行路線AB的距離MN.飛機能夠測量的數據有俯角和飛行距離(因安全因素，飛機不能飛到山頂的正上方N處才測飛行距離)，請設計一個求距離MN的方案，要求：

（1） 指出需要測量的數據(用字母表示，并在圖中標出)；

（2） 用測出的數據寫出求距離MN的步驟.

分析 此題為開放題，答案不唯一，只要方案設計合理即可.（1） 如圖4，測出飛機在A處對山頂的俯角為α，測出飛機在B處對山頂的俯角為β，測出AB的距離為d，連接AM，BM；（2） 第一步，在Rt△AMN中，tanα=MNAN，∴ AN=MNtanα；第二步，在Rt△BMN中，tanβ=MNBN，∴ BN=MNtanβ，其中AN=d+BN，解得MN=d·tanα·tanβtanβ-tanα.

點評 本題是一道開放性很強的方案設計題，它能夠綜合考查同學們應用銳角三角函數、全等三角形、相似三角形的知識解決問題的能力.親愛的同學，你還有其他求距離MN的方案嗎？

四、 統計中的方案設計問題

例6 (2011甘肅天水)愛養花的李先生為選擇一個合適的時間去參觀2011年西安世界園藝博覽會，查閱了5月10日到16日（星期一至星期日）每天的參觀人數，得到圖5、圖6所示的統計圖，其中圖5是每天參觀人數的統計圖，圖6是5月15日（星期六）的上午、中午、下午和晚上四個時段參觀人數的扇形統計圖，請你根據統計圖解答下面的問題.

圖5

圖6

① 5月10日至16日這一周中，參觀人數最多的是 日，有 萬人，參觀人數最少的是 日，有 萬人，中位數是 ；

② 5月15日（星期六）這一天，上午的參觀人數比下午的參觀人數多多少人？（精確到1萬人）

③ 如果李先生想盡可能選擇參觀人數較少的時間參觀世園會，你認為選擇什么時間較合適？

分析 從條形圖中直接讀出①中的結果，再結合扇形圖，可以求出相差的人數，從人數最少上來選擇去參觀的時間，那就是人數最少的星期一這一天的下午.正確答案：① 15，34，10，16，22；② 34×（74%-6%）≈23（萬人）；③ 選擇星期一的下午去參觀人數相對比較少.

點評 在日常生活中，我們常常需要把搜集得來的數據進行整理，并正確應用統計、概率的知識，從不同的角度進行分析，作出符合要求的方案.

鏈接 在一個不透明的布袋里裝有3個球，其中2個紅球、1個白球，它們除顏色外其余都相同.現再將若干個白球放入布袋，攪勻后，使摸出1個球是白球的概率為57，那么你認為再放幾個白球到布袋中呢？