開放探索型判斷說理題

開放探索型判斷說理題是由開放探索型問題和判斷說理型問題綜合而形成的新型試題，已成為各地中考命題的熱點.這類問題所給條件或結論不明確、解題方向不確定、條件（或結論）不止一種，要求考生依據條件探索結論的存在性或多樣性，或是給出某一結論，或是探索出使這一結論成立的條件是否存在，然后再說明其存在或不存在的理由.

一、條件開放探索型判斷說理題

條件開放探索型判斷說理題是指結論已經給出，要求探索能夠使所給結論成立的條件.有了正確的答案，說理一般都比較容易.

圖1

例1 （2011福建漳州）如圖1，∠B=∠D，請在不添加輔助線的情況下，添加一個適當的條件，使△ABC≌△ADE并證明.

分析 因為題目中已經具備條件∠B=∠D，又∠A為公共角，要使得△ABC≌△ADE，需要添加的肯定是一組相等線段，從而可以得到三種方案，隨著添加的相等線段的不同，得到的說理方法也不同.

解 方案1：添加的條件是AB=AD.此時，在△ABC和△ADE中，∠B=∠D，

AB=AD，

∠A=∠A，所以△ABC≌△ADE（ASA）.

方案2： 添加的條件是AC=AE.此時在△ABC和△ADE中，∠B=∠D，

∠A=∠A，

AC=AE，所以△ABC≌△ADE（AAS）.

方案3：添加的條件是BC=DE.此時，在△ABC和△ADE中，∠B=∠D，

∠A=∠A，

BC=DE，所以△ABC≌△ADE（AAS）.

點評 本題考查了同學們對全等三角形判定方法的掌握情況，判定三角形全等有四種方法，即SSS，SAS，ASA，AAS，要根據具體情況靈活選用.想一想：如果把條件中的“∠B=∠D”換為“AB=AD”，其他不變，應該怎么解決呢？請同學們試一試.

二、 結論開放探索型判斷說理題

結論開放探索型判斷說理題是根據給出的條件來尋求結論，但結論通常在兩個以上.解答這類問題思路必須開闊，思維必須敏捷，要善于抓住題目的關鍵語句，采用各種變通的方法，進行橫向聯系和縱向比較，探索出問題的多種答案來，再進行判斷說理.

例2 （2011湖北黃石）2011年6月4日，李娜獲得法網公開賽的冠軍，圓了中國人的網球夢，也在國內掀起一股網球熱.某市準備為青少年舉行一次網球知識講座，小明和妹妹都是網球迷，要求爸爸去買門票，但爸爸只買回一張門票，那么誰去就成了問題.小明想到一個辦法：他拿出一個裝有質地、大小相同的2x個紅球與3x個白球的袋子，讓爸爸從中摸出一個球，如果摸出的是紅球，妹妹去聽講座，如果摸到的是白球，小明聽講座.

（1） 爸爸說這個辦法不公平，請你用概率的知識解釋原因；

（2） 若爸爸從袋中取出3個白球，再用小明提出的辦法來確定誰去聽講座，請問摸球的結果是對小明有利還是對妹妹有利，說明理由.

分析 （1） 根據概率公式分別求得妹妹與小明去聽講座的概率，概率相等就公平，否則就不公平；（2） 根據概率公式分別求得妹妹與小明去聽講座的概率，再討論x的不同取值引起的概率大小關系的變化，根據概率大的就有利，即可求得答案.

解 （1） ∵ P（小明勝）＝35，P（妹妹勝）＝25，∴ P（小明勝）≠P（妹妹勝），∴ 這個辦法不公平； （2） 當x＞3時對小明有利，當x<3時對妹妹有利，當x＝3時游戲公平.

理由如下：∵ P（小明去）＝3x-35x-3，P（妹妹去）＝2x5x-3，∴ 由3x-35x-3=2x5x-3，有3x-3=2x，解得x＝3.∴ 當x＝3時摸球的結果對雙方公平，即游戲公平；當3x-35x-3＞2x5x-3，即x＞3時摸球的結果對小明有利；當3x-35x-3<2x5x-3，即x<3時摸球的結果對妹妹有利.

點評 此題考查了概率公式的應用和游戲公平性的判定.一個游戲規則是否公平，關鍵是看游戲雙方獲勝的概率（或得分）是否相等，若相等則公平，否則不公平.另外，如果要設計公平的新規則，一般方案不唯一，只要使兩者獲勝的概率（得分）相等即可.

三、 存在型開放探索判斷說理問題

存在型開放探索判斷說理問題通常以“是否存在”的形式設問，答案有兩種可能：或存在，需要找出來；或不存在，需要說明為什么不存在.解決這類問題的一般思路是先假設所探索的結論是存在的，并把它當作已知條件，結合題設進行探索、歸納、推理、計算，如果能求出合理的結果，則說明假設成立.如果不能得到合理的結果或得到與題設、實際生活相矛盾的結果，則表明假設不成立，探求的結論不存在，從而作出正確的判斷.無論最終結論是否存在，解題時都要求考生對作出的判斷進行正確的說理.

圖2

例3 （2011甘肅蘭州）如圖2所示，在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊長為2 cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx+c經過點A、B和D4，-23.

（1） 求拋物線的表達式.

（2） 如果點P由點A出發，沿AB邊以2 cm/s的速度向點B運動，同時點Q由點B出發，沿BC邊以1 cm/s的速度向點C運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動.設S=PQ2（cm2）.① 試求出S與運動時間t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍；② 當S取54時，在拋物線上是否存在點R，使得以點P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由.

（3） 在拋物線的對稱軸上求點M，使得M到點D、A的距離之差最大，求出點M的坐標.

分析 （1） 求出A、B兩點的坐標后，將A、B、D三點坐標代入y=ax2+bx+c，求出a，b，c的值；（2） ① 用含t的代數式表示BP、BQ后，再用勾股定理求出S的解析式；② 根據S=54即可解出t的值，進而得出P、B、Q的坐標.然后先假設R點存在，根據P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形，分類求出R點的坐標，再驗證R點是否在拋物線上；（3） 利用對稱將點A轉化到與點D在對稱軸的同一邊，再利用三角形兩邊的差小于第三邊判斷出點M與點B、D在同一直線上時，差才最大，再利用一次函數求出點M的坐標.

解 （1） 由題意得A（0，-2），B（2，-2），又拋物線y=ax2+bx+c過點A，∴ c=-2.再把B、D兩點的坐標代入，由4a+2b-2=-2，

16a+4b-2=-23，解得a=16，

b=-13.

∴ 拋物線的解析式為y=16x2-13x-2.

（2） ① S=PQ2=BP2+BQ2=(2-2t)2+t2=5t2-8t+4（0≤t≤1）；② 由5t2-8t+4=54，解得t=12或t=1110（不合題意，舍去），此時，P（1，-2），B（2，-2），Q2，-32.假設存在點R， 使得以點P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形，則R3，-32或1，-52或1，-32，代入拋物線解析式檢驗可知，只有點R3，-32在拋物線上，所以拋物線上存在點R3，-32，使得以點P、B、Q、 R為頂點的四邊形是平行四邊形.

圖3

（3） 過點B、D的直線交拋物線對稱軸于點M，則該點即為所求.因為如在對稱軸上另取一點N，則ND-NA=ND-NB 點評 本題綜合考查了方程（組）、函數、勾股定理、平行四邊形、三角形等知識，分類討論、數形結合、方程等數學思想方法. 本題中既有肯定存在，也有否定存在，具有一定的代表性.解決這類問題要注意：（1） 在求一次函數或二次函數的解析式時采用待定系數法是基本方法；（2） 以已知三點為平行四邊形的三個頂點，求第四個頂點坐標的問題，常常要分類討論，應注意分類的標準統一，不重復不漏解，在求第四個頂點的坐標時，一般采用平移的方法；（3） 解決像本題的點M到D、A的距離之差最大的問題，通常轉化為三角形三邊之間的關系來處理.