《圖形與證明》知識概要

1. 幾何證明中基本的數學思維方法

宋代歷史學家司馬光小時候砸缸救小伙伴的故事給我們啟示：在證明時，如果不能順利地從條件推出結論，不妨倒過來想.這種“讓水離開人”、“執果索因”的推理方法稱為分析法，而“讓人離開水”，即在證明時順利地從條件推出結論，這種“由因導果”的推理方法稱為綜合法.“分析法”和“綜合法”是我們常用的數學思維方法.

反證法是一種特殊的證明方法.在證明時，不是直接證明命題的結論，而是先提出與結論相反的假設，然后推導出矛盾的結果，從而證明命題的結論成立，這種方法叫反證法.

運用反證法證明問題時，結論的反面要找得準確、全面，證明的每一步要有依據，直到推出與“定義、定理、基本事實、已知條件”等相矛盾.

2. 等腰三角形

（1） 等腰三角形的主要性質有：等邊對等角；等腰三角形的三線合一性；等邊三角形的每個內角都等于60°；到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；等等.應用性質可以簡捷地證明三角形中的線段或角的相等、線段的垂直等.

（2） 判定一個三角形是等腰三角形，除了利用定義外，也可以利用等腰三角形的判定定理：等角對等邊.等邊三角形是特殊的等腰三角形，其判定方法有：三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形，這時60°的角是頂角還是底角都無妨.

（3） 關注“分類討論”的數學思想方法.因為等腰三角形中有兩邊相等，有兩角相等，所以當“邊”或“角”元素不確定時，就需要分類討論.

3. 直角三角形

直角三角形是一種特殊的三角形，因此學習時要特別注意對其特殊性質的理解和應用.如“直角三角形的兩個銳角互余”是一般三角形所不具備的；“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”，這個性質反映出任何一個直角三角形斜邊上的中線把它分成兩個等腰三角形，因此，學習直角三角形時必須與等腰三角形緊密結合；“30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半”這一性質，不是任何直角三角形所具有的.

直角三角形與等腰三角形的密切關系還表現在：以任意直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸，得到的軸對稱圖形，一定是一個等腰三角形.同時任意等腰三角形的底邊上的高，一定分它為兩個全等的直角三角形.這種關系使我們能更好地理解和掌握“斜邊直角邊定理”.

4. 平行四邊形、矩形、菱形、正方形

這些圖形的概念重疊交錯，容易混淆，常常出現“張冠李戴”的現象，所以它們之間的聯系和區別是本章學習的難點.分清這些四邊形的從屬關系，梳理它們的性質和判定方法，是克服難點的關鍵.它們之間的聯系與區別可通過下圖表示：

5. 在“等腰梯形的性質定理和判定定理”探究中運用的數學方法

等腰梯形的性質和判定的探究是建立在等腰三角形和平行四邊形基礎上的，所以可通過添加輔助線的方式將等腰梯形轉化為等腰三角形和平行四邊形，常見輔助線如下：

通過“轉化”，我們得到了等腰梯形的性質定理：等腰梯形同一底上的兩底角相等；等腰梯形的對角線相等.等腰梯形的判定定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形.

6. 三角形的中位線定理

三角形中位線定理包含兩個內容：（1） 三角形的中位線平行于第三邊；（2） 三角形的中位線等于第三邊的一半.前者是兩條線段所在直線的位置關系，后者是線段與線段之間的數量關系，因此定理的作用也就不言而喻了.

在許多問題中，常常提供與中點有關的信息，為此，我們通常構造三角形的中位線，利用中位線定理揭示線段之間的位置與數量關系，為進一步探究新信息提供支撐.

7. 幾個特殊四邊形的面積公式