直擊命題思路 分析考查目的

例1 等腰三角形的兩邊長為4和9，則它的周長是 .

解析 當腰長為4時，∵ 4+4<9，∴此情況不存在.

當腰長為9時，∵ 9+9>4，∴它的周長是22.

■ 本題中，“等腰三角形的邊”不能確定是指腰還是底，以此為考點來考查同學們是否具有運用分類討論思想的意識.

例2 已知四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，給出下列5個條件：① AB∥CD，② OA=OC，③ AB=CD，④ ∠BAD=∠DCB，⑤ AD∥BC.

（1） 從以上5個條件中任意選取2個條件，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有（用序號表示）：如①與⑤.

（2） 對由以上5個條件中任意選取2個條件，不能推出四邊形ABCD是平行四邊形的，請選取一種情形舉出反例說明.

解析 （1） ①②，①③，①④，②⑤，④⑤.（2） 如圖1所示：

■ （1） 平行四邊形的判定方法有很多，同學們容易產生知識“串聯”，設計這道結論開放型問題，意在綜合考查大家的邏輯思維能力和構造能力；（2）本試題的價值導向就是要求同學們在平時的學習中關注教材里的問題的呈現方式和設問方式，有意識地培養探究能力.

例3 如圖2，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC內的兩點，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6 cm，DE=2 cm，則BC的長為 cm.

解析 如圖3，延長AD交BC于M，延長ED交BC于N.

∵AB=AC，AD是∠BAC的平分線，∴AM⊥BC，BM=MC=■BC. ∵∠EBC=∠E=60°，∴△EBN是等邊三角形，∴EN=BN=BE=6 cm，∴DN=EN-DE=4 cm.在Rt△DMN中，∵∠MDN=30°，∴MN=■DN=2 cm，∴BM=4 cm，∴BC=2BM=8 cm.

■ 圖形構造新穎別致，實際上是將一個等邊三角形嵌入并隱藏在等腰三角形內，“留白”令人“若有所思”，考查同學們的直覺思維，在學習內容上考查了特殊三角形的性質及應用.

例4 如圖4，△ABC中，AB=AC，AD、AE分別是∠BAC和∠BAC的外角的平分線，BE⊥AE.試判斷AB與DE是否相等？并證明你的結論.

解析 AB與DE相等.

∵AD、AE分別是∠BAC和∠BAC外角的平分線，

∴∠DAE=∠BAD+∠BAE=■（∠BAC+∠BAF）=90°.

又∵AB=AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD⊥BC.

∵BE⊥AE，∴四邊形ABCD是矩形，∴AB=DE.

■ 幾何模型是鄰補角的角平分線互相垂直，并綜合等腰三角形、矩形等知識，考查同學們靈活運用相關知識進行分析和推理的能力的能力.

例5 如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠B =60°，BC=2.點O是AC的中點，過點O的直線l從與AC重合的位置開始，繞點O作逆時針旋轉，交AB邊于點D.過點C作CE∥AB交直線l于點E，設直線l的旋轉角為α.

（1） ① 當α = 度時，四邊形EDBC是等腰梯形，此時AD的長為 ；

② 當α = 度時，四邊形EDBC是直角梯形，此時AD的長為 ；

（2） 當α =90°時，判斷四邊形EDBC的形狀，并說明理由.

解析？搖（1） ① 30，1；② 60，1.5；

（2） 當∠α=90°時，四邊形EDBC是菱形.

∵∠α=∠ACB=90°，∴BC∥ED.？搖∵CE//AB，

∴四邊形EDBC是平行四邊形.

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2， ∴∠A=30°，∴AB=4， AC=2■， ∴AO=■AC=■.

在Rt△AOD中，∠A=30°，∴AD=2，∴BD=2，∴BD=BC.

又∵四邊形EDBC是平行四邊形， ∴四邊形EDBC是菱形.

■ 此題的知識外延是四邊形增設內涵條件就可以得到不同的特殊四邊形，同時運用旋轉變換創設內涵條件，考查同學們在動手操作中探究、解決問題的能力.

例6 如圖6，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8 cm，AD=24 cm，BC=26 cm，動點P從點A開始沿AD邊向點D以1 cm/s的速度運動， 動點Q從點C開始沿CB邊向點B以3 cm/s的速度運動，P、Q分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動的時間為t秒.

（1） t分別為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？四邊形ABQP為矩形？

（2） 四邊形ABQP在某一時刻會不會成為正方形？為什么？

解析 （1） 由題意知：AP=t，PD=24-t，CQ=3t，BQ=26-3t.

∵PD∥CQ，

∴當PD=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，即24-t=3t，得t=6 s.

又∵AP∥BQ，∠B=90°，∴當AP=BQ時，四邊形ABQP為矩形，即t=26-3t，得t=6.5 s時，四邊形ABQP為矩形.

（2） ∵當t=6.5 s時，四邊形ABQP為矩形，但此時AP=1×6.5=6.5≠AB，

∴四邊形ABQP不會在某一時刻成為正方形.

■ （1） 幾何問題代數化，探尋已知信息中特殊四邊形線段之間的數量關系，構建方程模型；（2） 條件設計為開放型，要求同學們從問題的結論出發，運用觀察、想象、分析、綜合、類比、猜想、歸納、推斷等探索活動，逆向追索，尋求解題策略；（3） 由于P、Q的位置隨著時間t的變化而改變，因此問題還可變化為： 當t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形？（請同學們自己研究）

例7 如圖7，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M、N分別EB、CD的中點，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形.

（1） 當把△ADE繞A點旋轉到圖8的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；

（2） 當△ADE繞A點旋轉到圖9的位置時，△AMN是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當AB=2AD時，△ADE與△ABC及△AMN的面積之比；若不是，請說明理由.

解析？搖（1） CD=BE.理由如下：

∵△ABC和△ADE為等邊三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°. ∵∠BAE =∠BAC-∠EAC =60°-∠EAC，∠DAC =∠DAE-∠EAC =60°-∠EAC，∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD，∴CD=BE.

（2）△AMN是等邊三角形.理由如下：

∵△ABE ≌ △ACD，M、N分別是BE、CD的中點，∴AM=AN，NC=MB.∵AB=AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB=∠NAC，∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°.∴△AMN是等邊三角形.

設AD=a，則AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a，

易證BE⊥AC，∴BE=■=■=■a，∴EM=■a.

∴AM=■=■=■a.

∵△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形，

∴S■∶S■∶ S■=a2∶（2a）2∶■a2=1∶4∶■=4∶16∶7.

■ 以△ADE的旋轉變換為背景構造問題，切入點是探索動態變化過程中的三角形全等和恒等量關系，考查同學們觀察、操作、猜測、歸納、類比、合理推斷、計算等數學活動能力及邏輯分析與綜合論證的能力.