例析《圖形與證明》新題型

例1 如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠BCD=60°，CD=2AD，BC=2，點P是AB上的一點，求△PCD周長的最小值.

解析 如圖2，以直線AB為對稱軸作直角梯形ABCD的對稱圖形ABC′D′，連接C′D交AB于點P，再連接PC，則△PCD就是所求的有最小周長的三角形.圖中∠D′C′B=∠BCD=60°，C′D′=CD，DD′=2AD，CC′=2BC=4.

∵CD=2AD，∴DD′=CD=C′D′.

又∵∠D′C′B=60°，∴∠D′C′D=■∠D′C′B=30°.

∵∠BCD=60°，∴∠CDC′=90°.

∴DC=■CC′=2，∴DC′=■=2■，

∴△PCD周長的最小值為2+2■.

例2 如圖3，AG⊥直線l于G，P是直線l上且位于點G右側(cè)的一動點，以AP為一邊作正方形PABC，過點C、P作直線l的垂線，分別交直線l和∠PAG的平分線于點H、Q，連接QC.

（1） 求證：△PCQ是等腰三角形；

（2） 探究：當點P在運動過程中∠AQC大小變化的規(guī)律，并說明理由.

解析 （1） ∵ AG⊥直線l，PQ⊥直線l，∴AG∥PQ，

∴ ∠PQA=∠QAG.

又∵AQ平分∠PAG，∴∠PAQ=∠QAG，

∴∠PAQ=∠PQA，∴PA=PQ.

∵四邊形PABC是正方形，∴PC=PA，∴PC=PQ，

∴△PCQ是等腰三角形.

（2） ∠AQC的大小保持不變，即∠AQC=45°.

∵PC=PQ，∴∠PCQ=∠PQC.

∵AG∥PQ，AG∥CH，

∴PQ∥CH，

∴∠PQC=∠QCH，∴∠PCQ=∠QCH.

又∵∠PAQ=∠PQA，

∴∠AQC=∠PQA+∠PQC=∠PAQ+∠PCQ=■（∠PAG+∠PCH）=45°.

例3 若兩條平行直線l、m沿著某個方向經(jīng)過平面圖形的端點或與該圖形相切，且該圖形上的所有點都在l、m之間（也可以在直線l、m上），把l、m之間的距離稱為該平面圖形沿這個方向的寬度.如圖4、圖5和圖6，d就是為3個圖形分別沿某個方向的寬度.

閱讀以上材料，回答以下問題：

（1） 如圖7，在菱形ABCD中，對角線AC=8，BD=6，則菱形ABCD沿AC方向的寬度為 ，沿AB方向的寬度為 ；

（2） 如圖8，在坐標系xOy中，正方形ABCD的對角線AC落在x軸上，其中A（-1，0），C（7，0），連接OB，求正方形ABCD沿OB方向的寬度.

？搖？搖？搖？搖

解析 （1） 6，■.

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴菱形ABCD沿AC方向的寬度為BD的長.

∵BD=6，∴菱形ABCD沿AC方向的寬度為6.

∵沿AB方向的寬度即為AB邊上的高的長度，

設(shè)AB邊上的高長為h，∵AB·h=■，∴h=■.

（2） 如圖9，連接BD交AC于E，過A作AH∥OB，過C作CH⊥AH于H.

∵四邊形ABCD是正方形，A（-1，0），C（7，0），

∴BD⊥AC，BD=AC=8，

∴OE=3，BE=4，OB=5.

∵AH∥OB，∴∠COB=∠CAH.

∵BD⊥AC，CH⊥AH，∴∠OEB=∠AHC，？搖

∴△BOE∽△CAH，∴■=■，

∴CH=■=■，

即正方形ABCD沿OB方向的寬度為■.

例4 矩形ODBE在坐標系中的位置如圖10所示，其中點B的坐標為（6，8），

以B為直角頂點的三角板（△ABC）繞點B旋轉(zhuǎn)與x、y軸的正半軸分別交于點P、Q.

（1） 求■的值；

（2） 若M、N、G、H分別是四邊形OPBQ中OQ、BQ、BP、OP的中點，順次連接M、N、G、H.

① 試說明四邊形MNGH為平行四邊形；

② 記？荀MNGH的周長為L，則三角板旋轉(zhuǎn)的過程中L的值是否發(fā)生變化？若不變，求出L的值；若改變，求出L的變化范圍.

解析 （1） 易證△BQE∽△BPD，

∴■=■=■=■.

（2） ① 如圖11，∵M、N、G、H分別是四邊形OPBQ中OQ、BQ、BP、OP的中點，

∴MN∥OB，GH∥OB，OB=2MN，OB=2GH，

∴MN∥GH，MN=GH，

∴四邊形MNGH為平行四邊形.

② 在三角板旋轉(zhuǎn)的過程中？荀MNGH的周長發(fā)生變化，其變化范圍是20≤L<■.

連接OB，PQ，設(shè)BQ=x，

∵■=■，∴BP=■x.

在Rt△BQP中，∵BQ=x，BP=■x，∴PQ=■x.

∵？荀MNGH的周長=OB+PQ，∴L=10+■x.

∵△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)與x、y軸的正半軸分別交于點P、Q，∴6≤x<10，∴20≤L<■，

∴在三角板旋轉(zhuǎn)的過程中？荀MNGH的周長發(fā)生變化，其變化范圍是20≤L<■.