學會從概念、公式、題設切入

一、 活用極差概念學會分類討論

例1 一組數據2，5，6，x的極差是7，則x = .

解：若x為最大則x-2=7；若x最小則6-x=7.故x為9或-1.

例2 班主任老師要求曉勤同學匯報一周內每天幫助媽媽做家務的時間（單位：min），曉勤匯報如下表：

？搖

星期四、五兩天的時間因曉勤忘記了，只能用x、y代替，但他每天平均勞動半小時，極差為18 min.請你幫助曉勤算出x、y的值.

解：由平均每天勞動30 min，可算出x+y=51.

若25為最小值，則x、y中必有一個最大為25+18=43，則另一個為51-43=8<25（舍去）；

若40為最大值，則x、y中必有一個最小為40-18=22，另一個為51-22=29，所以x=22，y=29或x=29，y=22；

若x、y中一個最大，另一個最小，則有x+y=51，x-y=18.解之，得x=34.5<40，并不是最大，故舍去.

綜上：x=22，y=29或x=29，y=22.

評注 抓最值，根據（已知）條件合理分類.

二、 理解（方差）定義、公式重在靈活運用

例3 如圖所示，A、B兩個旅游點從2008年至2012年“五·一”的旅游人數變化情況分別用實線和虛線表示，求A、B兩個旅游點從2008年至2012年旅游人數的平均數和方差，并從平均數和方差的角度，用一句話對這兩個旅游點的情況進行評價.

解：從圖中數據計算可知A、B兩個旅游點從2008至2012年旅游人數的平均數均為3萬人.

s2■=2，s2B=■.

可見，雖然B 旅游點的人數比A旅游點穩定，但A旅游點更有發展前景.

例4 已知：樣本a■，a■，a■，…，a■的平均數是a，方差s2=0.20，那么樣本a■，a■，a■，…，a■，a的方差s■2= .

解：∵s2=■[（a■-a）2+…+（a■-a）2]=0.20，

∴[（a■-a）2+…+（a■-a）2]=19×0.20.

∴s■2=■[（a■-a）2+…+（a■-a）2+（a-a）2]

=■×19×0.20=0.19.

三、 （方差）公式變形解題更靈活

一組數據x■，x■，x■，…，x■的平均數x=■（x■+x■+…+x■），

s2=■[（x■-x）2+（x■-x）2+…+（x■-x）2]

=■[x■2+…+x■2-2x（x■+x■+…+x■）+nx-2]

=■[（x■2+…+x■2）-nx-2]

=■（x■2+…+x■2）-x-2.

例5 已知實數a，b，c，d滿足a+b+c+d=4，a2+b2+c2+d2=4，求■的值.

解：∵x=■（a+b+c+d）=■×4=1，視a，b，c，d為一組數據，由上述方差公式得

s2=■（a2+b2+c2+d2）-（x）2=■×4-1=0.

∴a=b=c=d=1.

∴■=1.

評注 這里的已知條件讓我們“觸景生情”，想到上述方差變形公式.

其實，膽大心細的同學會發現這里的a，b，c，d“約束”地位均等，難道它們會相等？真是這樣的話就一定有a=b=c=d=1了，如何證明呢？方法來了：

∵a+b+c+d=4，a2+b2+c2+d2=4，

∴配方，得（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2+（d-1）2

=a2+b2+c2+d2-2（a+b+c+d）+4

=4-2×4+4=0.

∴a=b=c=d=1，■=1.