強化開放題訓練 培養創造性思維

國際數學教育委員會曾指明，“在數學課堂里更多地進行沒有固定答案的問題研討，也許將會使更多的學生體驗到科學賦予該學科的美感。”其中“沒有固定答案的問題”即是數學教學中通常提及的開放題。日本學者澤田利夫說過，一道具有多種答案或者不確定答案的開放題型重點不是讓學生尋求最終的答案，而是要讓學生培養出尋找答案的創造性思維和態度。而創造性思維是指對某個具有不確定答案的問題付出腦力、感知、推理、聯想等的努力而得出的具有創造性思維的答案的思維活動。因此，在教學中，要通過設計不同類型的開放題，培養學生的創造性思維。

一、強化“一題多解”開放題訓練，培養學生發散思維

發散思維又稱為輻射思維、擴散思維，指在解決問題的思考過程中，從原有的信息出發，向不同方向發散，不受到已知的或現存的思維方式、解決方法的約束，并且從這種求異式的探索思考中，獲得多種不同的解決辦法，衍生出各種不同的結果。心理學家認為，發散思維是創造性思維的最主要的特點，也是測定創造力的主要標志之一。發散思維一般可以通過一題多解開放題進行強化訓練，一題多解是指從不同視角以及運用不同的思維方式來解答同一問題的思考方法，一題多解開放題一般包括：策略開放、條件開放、結論開放等幾種類型。

策略性開放題是指問題的解決方法是開放性的、不限定的數學問題。例如，北師大版數學六年級下冊“百分數的應用（三）”練習題：“參加田徑比賽的人數有54人，比參加球類比賽的人數少25%。參加球類比賽的有多少人？”一般學生可能會用剛學過的列方程方法解答：設參加球類比賽的有x人，（x-54）÷x=25%，通過解方程得到參加球類比賽的人數為72人；也可以直接用算術解法，把參加球類比賽的人數看作單位“1”，列式54÷（1-25%）=54÷75%=72；也有的學生先把25%化成1／4，列式54÷（1-1／4）=54÷3／4=72。

條件性開放題是指解決問題的條件是開放性的，例如填空題（ ）×（ ）=1000，有的學生填100×10=1000，也可以填125×8=1000，25×40=1000，500×2=1000，1000×1=1000，等等，當然把前面每個算式中的兩個因數調換位置也是符合題意的；又如應用題：請根據題意補充完整再解答，“參加田徑比賽的人數有 人，比參加球類比賽的人數少25%。參加球類比賽的有多少人？”這樣的問題補充不同的合適條件，就會得到不同的結果。

結論性開放題是指問題的答案是開放性的，如“學校要租車組織三（1）班50名學生外出春游，大巴車每輛限乘33人，中巴車每輛限坐12人，請同學們幫老師做個租車方案。”又如北師大版三年級上冊“除法”練習題：“笑笑4周讀完了一本468頁的書，淘氣3周讀完了一本354頁的書， ？”（請提出不同的數學問題，并試著解答。）這類問題，雖然條件是確定的，但不同學生會提出不同的數學問題，給不同思維發展水平的學生不同的訓練機會。數學思維較弱的學生可能提出一步計算的簡單問題，如“笑笑平均每周看書多少頁”“淘氣平均每周看書多少頁”“笑笑和淘氣一共看了多少頁”“笑笑比淘氣多看了多少頁”等；而數學能力較強的學生則可能提出多步計算的問題，如“笑笑比淘氣平均每周多看多少頁”“淘氣比笑笑平均每周少看多少頁”“笑笑和淘氣相比，平均每周誰看書的頁數多？多多少頁”等。提出的問題不同，得到的結論也是不盡相同，不同層次的學生的數學思維都可以得到逐步發展。

在教學過程中教師應多設計“一題多解”開放題，培養學生善于思考和發現的能力。學生在進行思路分析時會遇到各種阻礙，教師應給予適當的點撥，促進學生能夠獨立思考各種解題的策略，發展思維多向性和靈活性。

二、強化“最優解法”開放題訓練，培養學生聚合思維

聚合思維與發散思維相對應，它是一種有方向、有條理的收斂性思維方式。從多種答案中判斷選擇出一個正確答案，從多種方案中比較挑選出一種最佳解決方案，根據多項信息資料歸納出一個正確結論的思維過程都屬于聚合思維。在數學學與教過程中，既要探求一題多解發展學生的發散思維，也要恰當地引導學生進行不同解法之間的分析比較、篩選優化，找尋學生便于接受的最優解法或簡便方法，能夠培養學生解決問題的策略優選意識，發展學生的聚合思維。

運用乘法運算定律尋求最優解法。如在學習了乘法結合律、交換律和分配律后，計算125×795×8，則可以先用交換律再用結合律進行簡便計算：125×795×8=125×8×795 =1000×795=795000；又如做較復雜的混合運算題：125×795×17-9×795×125，如果學生不認真審題，按照混合運算的一般順序一步一步來計算，那樣的計算量很大也很耗費時間，而且還容易出錯。有些學生經過仔細觀察分析，發現算式中減號左右兩邊的同級算式都含有相同的125×795，可以先提取出來，綜合采用乘法的多個運算定律進行簡便計算：125×795×17-9×795×125=125×795×（17-9）=125×795×8=125×8×795=1000×795=795000。這類題目不但要求學生熟練掌握乘法運算定律，而且還要熟記25×4=100、125×8=1000等特殊算式，這些簡便算法也是多種算法中的最優解法，能夠做到又對又快，避免學生面對枯燥無味的繁難數字，提高學生掌握技巧做題的興趣，發展學生的聚合思維。

比較多種解決方案尋求最優解法。例如，北師大版數學三年級下冊“旅游中的數學”第43頁關于租車的開放題：“老師組織40名學生外出春游，有兩種車型可供租用，一輛小車限坐乘客12人，租金120元；一輛大車限坐乘客18人，租金160元。請您幫老師算一算，怎樣租車最省錢？”組織學生先獨立思考做出租車方案后，再小組比較討論哪一種方案最省錢。方案一，租一輛小車和兩輛大車可以乘坐12+36=48人，滿足40人出行，所需租金：120+160×2=440元；方案二，租兩輛小車和一輛大車可以乘坐24+18=42人，也滿足40人乘坐，所需租金：120×2+160=400元；方案三，有的學生會做出只租一輛小車和一輛大車共需280元的方案，這是沒有考慮到能否滿足40人乘坐的條件，而且不允許超載，所以這樣的方案不能解決出行問題；方案四，還有的學生可能會認為可以租大車、小車各2輛，乘坐60人，租金需560元，此方案理論上解釋得通，但是這樣操作很浪費，現實生活中一般不提倡。因此，通過比較，學生能夠清晰了解方案二能滿足40人乘坐并且所需租金最少，是最優的解決方案。

三、強化“正難反解”開放題訓練，培養學生逆向思維

逆向思維與正向思維相對應，逆向思維是指不遵循問題中所給條件的先后順序，從一般的思維定勢、解題習慣的相反方向入手推理演繹的思維方式。逆向思維的培養是創造性思維訓練中的難點，在教學過程中，在進行正向思維訓練的基礎上，還必須訓練學生不同類型的逆向思維的解題技巧，培養學生的逆向思維能力，促使學生的逆向思維和正向思維相互協調發展。如反證法、逆推分析法等都屬于逆向思維方法。

“正難反解”開放題一般是指按照從題目所給出的條件正向分析推理，很難得出問題的結論或結果，則可以改變思考的方向，從問題的側向或反方向進行思考，從而得到化繁為簡、計算簡便的解題思維過程。小學階段，學生接觸的題型多數通過正向思維可以解決，學生也就逐步養成了解答任何題型都進行正向思維的習慣，因此他們的逆向思維能力較弱。教師有必要對學生進行正難反解的訓練，促使學生養成一種善于逆向思維的習慣。

例如，列式計算題：1119連續減去多少次8后還余下119？如果從正向思考較難找到解決方法，用列方程的方法解答，較為繁瑣；從反向思考，如果1119縮小119，尾數則剛好被減完，列式為（1119-119）÷8=1000÷8=125次。

再如，北師大版數學五年級上冊“圖形的面積”求陰影部分（圓環）的面積，圖形如下所示，就可以根據圓面積的計算公式與圖中大圓減小圓的面積來求陰影部分的面積。正面計算陰影的面積很難，可運用逆向思維解答，這是兩個同心圓，用大圓的面積減去小圓的面積就是陰影部分的面積。實際解題過程中，多數組合圖形的面積都可以考慮采用逆向思維的方法來解答。

四、強化“多余條件”開放題訓練，培養學生批判性思維

批判性思維是一種非常重要的數學思維品質，是創造性思維的前提和基礎；批判性思維是一種特殊的反思性思維，強調對已有條件或結論進行質疑、評析以及提出問題等再思考，從而更好地的解決問題。“多余條件”開放題是指題目給出的已知條件過多，有些條件不需使用，也不會影響解題的結果，但是出題者仍然將其放于題目中，干擾學生的解題思維。這時就需要學生具有好的批判性思維，對這些條件進行審核，排除題目中多余的條件，簡化原有題目，便于問題的解決。

例如，北師大版“數學與購物”習題：水果店有80箱梨子，有50箱桂圓，桂圓和梨子各項售出5箱，此時的桂圓比梨子少多少箱？這時學生就應該不難看出，桂圓和梨子各項售出5箱這是個多余條件，可以不使用，刪除對問題的結果不會有什么影響，因此可以得出式子，50-（80-50）=20箱，從而培養學生的批判性思維。

又如，北師大版數學二年級下冊“混合運算”練習：水果市場購進3500根甘蔗，昨天賣出20捆，每捆20根，今天賣出90根，請問，兩天一共賣出了多少根？這時不少的學生會被多余條件迷惑，列式為3500-20×20-90，錯誤地算成了剩下的甘蔗根數；正確的列式為20×20+90，就是總共賣出的甘蔗數量，可見“水果市場購進3500根甘蔗”這個條件是多余的條件，解題時可以忽略，以避免干擾解題思路。

小學生的數學思維還不夠縝密，解題過程中容易形成思維定勢，因此教學中應強化開放題訓練，同時注重培養學生的發散思維和聚合思維，通過“正難反解”開放題訓練學生的逆向思維；通過“多余條件”開放題訓練，培養他們的批判性思維。只有將這些全面穿插結合訓練，培養學生良好的思維習慣，增強數學學習的興趣，提高學習的積極性，才能發展學生的創造性思維和數學能力。

（責編 羅 艷）