圖形旋轉(zhuǎn)面面觀

圖形的旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運(yùn)動(dòng)中的重要變換，許多問題可以通過旋轉(zhuǎn)使原本分散的、互不聯(lián)系的條件有聯(lián)系，從而找到解決問題的突破口，因此，圖形的旋轉(zhuǎn)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容. 下面我們就從“知識(shí)的生成與知識(shí)的應(yīng)用”兩大方面談一談圖形的旋轉(zhuǎn)與初中其他知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系.

旋轉(zhuǎn)與平移

1. 概念類比

平移是指在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種運(yùn)動(dòng)叫平移. 而旋轉(zhuǎn)的概念為：將一個(gè)圖形繞某一個(gè)定點(diǎn)沿某一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，圖形的這種運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn).

平移的二要素為平移的方向和平移的距離，而旋轉(zhuǎn)卻有三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.

2. 性質(zhì)類比

平移的性質(zhì)：①平移前、后的圖形全等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段平行（或在同一條直線上）且相等；③連結(jié)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段長(zhǎng)度等于平移的距離.

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；③對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

3. 運(yùn)用

題1？藎 如圖1所示，點(diǎn)D是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，BC是斜邊，如果將△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△ACD′的位置，則∠ADD′的度數(shù)是____.（45°. 提示：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義）旋轉(zhuǎn)與平面幾何

這類問題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)前后圖形之間的關(guān)系，解決這類問題關(guān)鍵要抓住圖形旋轉(zhuǎn)的特征，關(guān)注相等的角和線段，以及與其他變換的組合.

1. 求角度和線段長(zhǎng)度

題2？藎 把一副三角板如圖2放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6，DC=7. 把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△DCE（如圖3所示），這時(shí)AB與CD交于點(diǎn)O，且與DE交于點(diǎn)F. （1）求∠OFE的度數(shù). （2）求線段AD的長(zhǎng).

思路 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方向和定義，我們知道∠BCE=15°，而∠E=90°，所以∠BGF=∠CGE=75°. 又∠B=45°，所以可求得∠OFE=∠B+∠BGF=120°.

（2）由（1）的結(jié)論，易知∠DFO=60°，而∠CDE=30°，所以∠COB=90°. 因?yàn)锳C=BC，AB=6，所以O(shè)A=OB=3. 同時(shí)容易求得CO=AB=3. 而CD=7，所以O(shè)D=CD-OC=4. 在Rt△ADO中運(yùn)用勾股定理可求得AD=5.

2. 求弧長(zhǎng)

圖形的旋轉(zhuǎn)就是把某個(gè)圖形繞著某一定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，其間，圖形上的點(diǎn)所經(jīng)過的路徑可以理解為圓中的弧，旋轉(zhuǎn)中心即為圓心，所以題目中經(jīng)常借圖形的旋轉(zhuǎn)來求弧長(zhǎng).

題3？藎 如圖4所示，一塊含有30°角的三角板ABC在水平桌面上繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到A′B′C的位置，若BC的長(zhǎng)為15 cm，那么頂點(diǎn)A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為多少？

思路 由題意知點(diǎn)C是旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑是以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑的一段圓弧，接下來求出CA長(zhǎng)和∠ACA′的度數(shù)即可解決問題. 在Rt△ABC中，因?yàn)椤螦=30°，BC=15 cm，所以∠ACB=60°，CA=30 cm. 所以∠ACA′=120°. 根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求得所要求的路徑長(zhǎng)為=20π cm.