將三角形面積之比進行到底

不要放過那些表面上看起來平凡而簡單的問題，它們背后也許有你還沒有弄明白的東西. 找到一種解題方法之后，不妨再想想：有沒有更高明的辦法呢？

不知道同學們在做題的時候有沒有發現，有些看來極為簡單、平常的題目，仔細想想，卻會有新的收獲. 例如一些涉及初中知識的題目，小學生卻能完整、正確地做出來，這是為什么呢？ 或許你現在有點丈二和尚摸不著頭腦，不要緊，讓我們先來看看下面的例子吧.

圖1畫了兩個三角形：△PAB和△QAB，我們一眼就可以看出△PAB的面積比△QAB的面積大.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

若進一步問：△PAB的面積是△QAB的多少倍呢？這就不是一眼就能看出來的了，它需要量一量.

這是不難的. 我們在小學的時候就學過：三角形的面積等于底乘高之積的一半. 先畫出△PAB的高PD和△QAB的高QE，量出PD=4 cm，AB=4 cm，QE=2 cm，于是，立即可以算出：△PAB的面積是8 cm2，△QAB的面積是4 cm2. 因此，△PAB的面積是△QAB的面積的2倍.

你馬上就會想到，上面這個方法是個笨方法，我們根本就不需要算出兩個三角形的面積. 因為△PAB和△QAB有一條公共邊AB，這條公共邊可看作是它們的公共底. 有公共底的兩個三角形叫做同底三角形，而同底三角形的面積比等于它們的高之比，因此：

===2①

所以，△PAB的面積是△QAB的2倍.

只量高不量底就可以求出△PAB和△QAB的面積比. 這里利用了兩個三角形有公共底的特點. 這比先分別算出兩個三角形的面積的辦法要高明些.

進一步問，能不能精益求精，再高明一點呢？

答案是肯定的. 量高要用帶直角的三角板先畫高，還要量兩次. 那么，有沒有更簡單點的方法呢？

有！回頭看看圖1，這次我們設M是直線AB與PQ的交點，量出線段PM和QM的長度（量這兩條線段，既不用畫垂線又可以一次量出）. 量得PM=8 cm，QM=4 cm，同樣可算出：

===2②

這是什么道理呢？

學過相似三角形的我們很快會發現，原來△PDM∽△QEM，因而有

=③

這表明，知道了PM與QM的比，也就知道了PD與QE的比，從而也就知道了△PAB與△QAB的面積之比.

很好，我們找到了更高明的辦法，而且應用相似三角形的知識說明了其中的道理，值得祝賀.

但是你不應該就此滿足，你可以再問：能不能用更簡單明了的推理來說明等式

=？搖④

的來歷呢？

比如，一位小朋友還沒學過相似三角形的知識，但是對此卻很好奇，你能不能向他說明④成立的道理呢？

辦法仍是有的. 在直線AB上取一點N，讓MN=AB，如圖2. 于是

S△PAB=S△PMN S△QAB=S△QMN

因而==？搖⑤

這里，用到了“同高三角形的面積之比等于底之比”. 因為，把PM看成△PMN的底，把QM看成△QMN的底，△PMN和△QMN便成了同高三角形（它們的公共高在圖中沒有畫出來）.

為了說明等式④成立，我們在直線AB上取了一個點N，又連結了線段PN、QN. 如果不想添加這些輔助點和輔助線，則可以利用現成的同高三角形來過渡：

=··⑥

=··=

這同樣推出了等式④，但是卻沒有用輔助線和輔助點.

現在，讓我們一起來回顧一下思考的過程，從中獲得一些有益的啟示：

一、？搖不要放過那些表面上看起來平凡而簡單的問題，它們背后也許有你還沒有弄明白的東西.

二、？搖找到一種解題方法之后，不妨再想想：有沒有更高明的辦法呢？

三、？搖更高明的辦法也許要用到更多的知識來說明其中的奧妙，那么，不妨進一步想，能不能用更少的、更基本的知識來說明那些你本認為要用較多的知識才能說明的道理呢？

問題到此并沒有結束，還可以“舉一反三”. 圖1畫出的兩個三角形 △PAB和△QAB，其特點是有一條公共邊AB，但是，有公共邊的兩個三角形，它們的位置關系并不一定都像圖1那樣，它們的位置關系是多種多樣的.

那么，是不是在任何情形之下，等式④都成立呢？

這樣看問題和提問題，我們便有了一般的概念，然后可以提出更一般的問題，找出更一般的規律，就像我們上面的做法一樣，從圖1的兩個特殊三角形△PAB和△QAB出發，提出了“有公共邊的兩個三角形”的一般概念，然后提出更一般的問題，找更一般的規律.

實戰演練

1. 如圖3，D是BC上一點，且BD=2，BC=5，E是AD的中點，則S△ABD ∶ S△ACE=______________.

2 在文章一開始所提的問題中，如果P、Q兩點在直線AB兩側，則△PAB和△QAB之比可化為哪兩條線段之比？（看圖4回答）

3. 如圖5，已知AP ∶ PC=4 ∶ 3，AQ ∶ QB=

3 ∶ 2，求△AOB與△AOC之比.

4. 如圖6，設三角形ABC中，邊BC上一點D滿足BC ∶ CD=4，邊CA上一點E滿足CA ∶ AE=5，邊AB上一點F滿足AB ∶ BF=6，那么三角形DEF的面積與三角形ABC的面積之比為多少？

5. 梯形ABCD中，AB平行于CD，AC、BD交于E，若三角形DCE的面積 ∶ 三角形DCB的面積=1 ∶ 3，求三角形DCE與三角形ABD的面積之比.