別有風趣的圓規幾何學

用直尺和圓規的一切作圖歸根到底都取決于：（1）求兩圓的交點；（2）求一條直線與一個圓的交點；（3）求兩直線的交點.？搖 以上三條，（1）自然可用圓規完成，關鍵在于（2）、（3）.？搖

讀者可能不曾想到，那位南征北戰、威名赫赫的法國皇帝拿破侖竟是一位數學愛好者，其幾何學的造詣之深，在古今中外的帝王中堪稱獨步！

據說，拿破侖對于只用圓規的幾何作圖問題極感興趣. 傳聞他曾給當時的法國數學家出過一道題：僅用圓規不用直尺，請把已知的圓周四等分.

圖1

這道題如果給定圓的圓心，就不難算. 圖1表明了一種作法：

在已知圓O（r）上任取一點A，然后從A點出發，用圓規量半徑的方法，依次在圓周上作出B、C、D三點，再作圓A（AC）交圓D（DB）于E點，最后，作圓A（OE）交已知圓O（r）于P、Q兩點，則A、P、D、Q四點把圓O四等分.？搖

其實，讀者不難算出：AE=AC=r，OE===r.

從而，A、P、D、Q確實為圓O的四等分點.

如果已知圓沒有給出圓心，那就難辦多了. 不過，只要你耐心讀完本篇文章就知道這也能辦到.？搖

1797年，意大利幾何學家馬施羅姆指出：任何一個能用直尺和圓規作出的幾何圖形都可以單獨用圓規作出. 這實際上是說：“直尺是多余的！”的確，如果我們認為所求的直線只要有兩點被確定就算得到了，那上面的說法是對的！

學過平面幾何的讀者想必都了解，用直尺和圓規的一切作圖歸根到底都取決于：（1）求兩圓的交點；（2）求一條直線與一個圓的交點；（3）求兩直線的交點.？搖

以上三條，（1）自然可用圓規完成，關鍵在于（2）、（3）.？搖為了弄清楚這一點，我們先介紹幾種可單獨用圓規作出的基礎作圖.

作圖1：試單獨使用圓規作點P關于直線AB的對稱點P′.？搖

作法：如圖2，以點A為圓心，AP長為半徑作弧，然后以點B為圓心，BP長為半徑作弧，則上述兩弧有兩個交點，其中一個為P，則另外一個便是我們所要求的對稱點P′.？搖

圖2

作圖2：在圓心O已知的情況下，試單獨使用圓規求圓O上的中點.？搖

作法：如圖3，不難單獨使用圓規作出？荀ABOC及？荀ABDO.？搖令OA=r，AB=m，則在？荀ABOC中，因為CB2+OA2=2（AB2+OB2），所以CB2+r2=2（m2+r2），CB2=2m2+r2.？搖

圖3

現作圓C（CB）交圓D（DA）于E點，因為OE2=CE2-OC2=CB2-OC2，所以OE2=2m2+r2-m2=m2+r2.？搖

再作圓C（OE）交圓D（OE）于F點，因為OF2=CF2-OC2=OE2-OC2，所以OF2=m2+r2-m2=r2.？搖

從而，F為圓O上的點.？搖又根據圓的對稱性知，F為的中點.？搖

作圖3：試單獨使用圓規求線段a、b、c的第四比例項x.

作法：我們試作其中最普遍的一種情況，其余均留給讀者.？搖

如圖4，取定一點O作圓O（a）、圓O（b），在圓O（a）上任取一點M，并求得另一點N，使弦MN=c.？搖任選一半徑r，作圓M（r）和N（r）分別交圓O（b）于P、Q兩點，并使OP與OQ中恰有一條位于∠MON內部.？搖易知△OMN∽△OPQ，從而OM∶OP=MN∶PQ，即a∶b=c∶x，也就是說弦PQ即為所求的第四比例項x.？搖

圖4

現在，讓我們回到單獨使用圓規的另兩個關鍵作圖上來.？搖事實上，單用圓規求一直線與圓的交點，現在已經沒有多大困難了.？搖

如圖5，用基礎作圖1作已知圓O（r）的圓心O關于直線AB的對稱點O′，則圓O（r）與圓O′（r）的交點P、Q即為所求直線AB與已知圓O（r）的交點.

圖5

不過，有一種情況似乎例外，即直線AB恰過O點，此時基礎作圖1失效.？搖然而，我們可以如圖6那樣再利用基礎作圖2求出的中點P和Q.？搖不難明白，P、Q即為圓O與直線AB的交點，也就是說，我們已經解決了關鍵的作圖（2）.？搖

圖6

再看看關鍵作圖（3），即如何單用圓規求兩直線的交點.？搖實際上，我們可以把它歸結為基礎作圖3.

圖7

如圖7，我們先按基礎作圖1作C、D關于直線AB的對稱點C′、D′，然后再確定點E，使CC′D′E為平行四邊形，這是單獨用圓規所能夠做到的.？搖很明顯，D、D′、E三點共線.？搖

令CD與AB的交點為F，那么，我們現在的目的就是求出F點.？搖

因為D′F∥EC，所以DE∶DD′=DC∶DF，即DF=x為DE、DD′、DC的第四比例項，因而也能單獨用圓規作出.？搖接下來是求圓D（x）和圓D′（x）的交點F，這已經是很容易的事了.？搖

至此，我們已經令人信服地證明了馬施羅姆關于“直尺是多余的”結論！

最后，還要提到一段有趣的歷史. 1928年左右，丹麥數學家海姆斯列夫的一個學生在哥本哈根的一個舊書攤上偶然發現了一本舊書的復制品《歐幾里得作圖》.？搖該書出版于1672年，作者是一位名不經傳的人物G·莫爾. 令人驚異的是，這本書不僅包含了馬施羅姆的結論，而且給出了一種不同的證明. 如果上述著作的年代沒有判定錯誤的話，那么這一事實表明：圓規幾何學的歷史至少應當向前推移125年.

實戰演練

1. 請你只用圓規在圖8所示的圓中作出此圓的五等分點（保留作圖痕跡）.

圖8

2. 圖9給定了兩個點A、B，請你只用圓規作出點C，使得以A、B、C三點為頂點的三角形為等邊三角形（保留作圖痕跡）.

圖9

3. 如圖10，已知正方形ABCD及其對角線BD，請你只用圓規作出正方形AEFG，使得正方形AEFG的面積為正方形ABCD面積的一半（只用作出E、F、G三點）.

圖10

4. 如圖11，已知圓及圓外一點A，請你只用圓規作出圓上的B、C兩點，使得A、B、C三點共線且AB=BC（只用作出B點）.

圖11