在“代”字上做文章

“代”的方法用處很廣. 它可以把已知與未知聯系起來，把普遍與特殊聯系起來，把復雜的式子變得簡單而易于觀察，把平凡的事實弄得花樣翻新便于應用. 在學代數、解代數題時，同學們不要忘了在“代”字上多做文章.

代數比算術高明，高明在一個“代”字上. 用字母來代替數，會使我們大開眼界.

用字母表示未知數，我們就有了解應用題的有力武器——方程.

用字母表示任意數，我們就有了各種各樣的公式、恒等式、不等式.

在解題的時候，如果你對“代”字深有體會，適當“代”一下，往往可以收到意想不到的效果.

有這樣一道題：

例1 已知方程ax2+bx+c=0（a，c≠0）的兩根為x1，x2，試寫出以，為兩根的一元二次方程.

這道題有多種解法. 有的同學老老實實用公式求出x1，x2，再算出，，并利用x-x-展開找到所要的方程. 有的同學不用解方程的方法，而用韋達定理求出：

+==-÷=-；

·==.

然后用根與系數的關系寫出要求的方程為：

x2+x+=0.

有的同學更妙，用“代”的方法. 設所要求的方程中的未知數為y，則y與原方程中的x互為倒數，即x=. 把它代入原方程，得到

a2+b+c=0.

去分母得到cy2+by+a=0.

這就是y應當滿足的二次方程！（注意，因為a，c≠0，故x，y都不會是0）

用“代”的方法，我們還能解決不少類似的題目. 比如要求一個一元二次方程，使它的根是方程x2+3x-2=0的根的3倍，怎么辦？好辦，設y=3x，則x=. 代進去一整理，便得到+y-2=0，也就是y2+9y-18=0. 這就是所要求的方程.

要求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2+px+q=0兩根的平方，怎么辦呢？只要設y=x2，則x=±，同樣可以代進去. 但是，這樣要用到根式，麻煩！可以變通一下，把原方程移項變成x2+q=-px，兩邊平方得

（x2）2+2qx2+q2=p2x2，

再用x2=y代進去，得到方程y2+（2q-p2）y+q2=0.

要是所求方程的兩根分別是方程x2+px+q=0兩根的立方，又該怎么辦呢？

第一步：由原方程得x2=-px-q，？搖①

兩端乘x，得到x3=-px2-qx.②

第二步：把①式代入②式右邊的第一項里面，得到

x3=-p（-px-q）-qx=（p2-q）x+pq，

也就是y=（p2-q）x+pq，故x=. 將其代到原方程里面，就得到y應當滿足的方程. 要留心的是，用p2-q做分母是不是合理，p2-q什么時候為0.

代，對解方程也有幫助. 一位學物理的大學生，碰到一個方程可以化成四次方程，但是很麻煩，可把他給難住了. 我們來看看這個方程.

例2 證明方程+=的根在任何條件下全是實的.

要是直接進行有理化，就成了一個四次方程. 如果仔細觀察一下，把分母的樣子變得對稱一些，會給解題帶來方便.

設x=y+，代入原方程就是+=，這樣的方程去分母后變成了2y2+=·y2-2.

這是一個特殊形式的四次方程，用代換y2=z可以化成二次方程. 下一步怎么做，你一定會了. 最后的解答是Δ≥0，也就是說，在任何條件下方程的根都是實的.

像這樣用代換使式子出現對稱形的方法，用處可不小. 例如，要證明當0≤x≤1時，有不等式x（1-x）≤，就可以設x=+y，因為0≤x≤1，所以-≤y≤. 把x=+y代入x（1-x），得到x（1-x）=+y-y=-y2≤，這樣便一下子就出來了.

用“代”的方法還可以從一個平平常常的事實出發，推出一些有用的、不那么明顯的式子. 例如，若A是實數，總有A2≥0，用A=x-y代入，得到（x-y）2≥0，展開之后便是x2-2xy+y2≥0，也就是x2+y2≥2xy. 當xy>0時，把xy除過去便是+≥2. 這就不很明顯了. 如果在不等式x2+y2≥2xy（xy>0）中，用x2=a，y2=b代入，便得≥，這就是用處很多的“平均不等式”！

剛才說的都是用字母代替字母，有時在一個公式里面用數字代替字母也有用處. 一位同學在分解因式時，把公式x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）錯記成x3+y3=（x+y）（x2+xy-y2）. 他覺得不對，但是又不能肯定，便設x=0，y=1，代進去試后發現左邊是1，右邊是-1，于是立馬肯定是錯了.

但是要注意，這樣驗證公式，如果兩端相等，并不能斷定公式沒記錯. 比如，如果他設x=1，y=0代進去，那么兩邊都是1，也就發現不了錯誤了. 比較可靠的方法是，用字母代替記不準的地方，比方寫成：

x3+y3=（x+y）（x2+axy+by2），將x=0，y=1代入，可求得b=1. 又將x=1，y=1代入，得2=2×（1+a+1），所以a=-1. 這樣就把公式找回來了.

這個辦法對記公式、恒等式很有用.

總之，“代”的方法用處很廣. 它可以把已知與未知聯系起來，把普遍與特殊聯系起來，把復雜的式子變得簡單而易于觀察，把平凡的事實弄得花樣翻新便于應用. 在學代數、解代數題時，同學們不要忘了在“代”字上多做文章.

實戰演練

1. （1）已知x2+bx+c=0的兩根分別為-1和3，那么b，c的值分別為多少？b，c與根的關系是什么（假設x1=-1，x2=3，用含x1，x2的式子表示）？

（2）已知x2+bx+c=0的兩根分別為x1，x2，那么以（x1-x2）2和（x1+x2）2為兩根的一元二次方程是什么？

2 . 已知ax2+bx+c=0（a，c≠0）的兩根分別為x1，x2，那么以和為兩根的一元二次方程是什么？以5x1和5x2為兩根的一元二次方程呢？

3. 已知≥（a，b>0），只有當a=b的時候，上述不等式中的等號才成立. 根據上述信息，解答問題：一個長方形的周長為p（p>0），求它的面積的最大值.

4. 小明在做練習題的時候，要用到（x+y）3的展開公式，但是他記得不是很清楚，他不確定是x3+3x2y+3xy2+y3還是x3+3x2y-3xy2+y3，但是其中有一個肯定是正確的. 請你用數字代替字母的方法，幫小明看看哪個式子是正確的.