圓易錯題方略

圓中涉及點與圓的位置關系，平行弦間的距離，同弦所對的圓周角，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系時，大部分均需要分類討論，而大部分同學卻考慮得不夠全面.

已知⊙O的直徑為14 cm，弦AB=10 cm，點P為AB上一點，OP=5 cm，則AP的長為_______cm.

只填4或只填6.

（1）同學們畫圖時由于思維定式，只畫出了一種，沒有真正理解“點P為AB上一點，OP=5 cm”的含義，即點P是以O為圓心，5 cm為半徑的弧與AB的交點，這樣的點P應該有兩個.

（2）同學們在畫圖的時候，沒有分類的意識. 因為這里沒有點明點P靠近A，B誰近一些，因此需要分類.

4或6.

在垂徑定理的應用中往往要構造直角三角形，并利用勾股定理進行簡單計算；在點與圓、直線與圓、圓與圓位置關系的判定中常會運用不等式，所以圓中的有關計算常根據勾股定理、相似性以及線段之間的關系建立方程、不等式、函數的模型解決問題，許多同學不能很好地利用這些模型，從而出現不會解或錯解的現象.

在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，若分別以點A，C為圓心的兩圓相切，點D在⊙C內，點B在⊙C外，則⊙A的半徑r的取值范圍是_______.

（1）同學們不會做；（2）1

（1）不能領會題意正確繪圖，由“⊙A與⊙C相切”可知：⊙A與⊙C可能內切，也可能外切；再根據“點D在⊙C內，點B在⊙C外”正確繪圖（如圖1和圖2所示）.

（2）不等式的知識不能靈活運用. 設⊙C的半徑為R，根據“點D在⊙C內，點B在⊙C外”可知5

1

如圖3所示，點A，B在直線MN上，AB=11 cm，⊙A，⊙B的半徑均為1 cm，⊙A以2 cm/s的速度自左向右運動，與此同時，⊙B的半徑也不斷增大，其半徑r（cm）與時間t（s）之間的關系式為r=1+t（t≥0）.

（1）試寫出點A，B之間的距離d（cm）與時間t（s）之間的函數表達式.

（2）點A出發多少秒后兩圓相切？

一部分同學不會；一部分同學主要錯在問題（1）的函數表達式漏寫了一種，問題（2）的分類討論不全面.

此題以運動變化為背景，分類思想突出，綜合了函數知識. 同學們理解題目的思路不清晰，題中的⊙B的位置是不動的，即圓心不變，但其半徑在變化；圓心距d與時間t之間的函數表達式遵循的相等關系： ①點A在線段AB上時，圓心距d=11-⊙A移動的距離，即當0≤t≤5.5時，d=11-2t；②點A在點B的右側時，圓心距d=⊙A移動的距離-11，即當t>5.5時，函數表達式為d=2t-11. 問題（2）解決的方法是將變化過程中，兩圓相切的情況全面地分析出來，再建立t的方程求出t.

（1）當0≤t≤5.5時，d=11-2t；當t>5.5時，d=2t-11.

（2）兩圓相切可分為如下四種情況： ①當兩圓第一次外切，由題意可得11-2t=1+1+t，解得t=3；②當兩圓第一次內切，由題意可得11-2t=1+t-1，解得t=；③當兩圓第二次內切，由題意可得2t-11=1+t-1，解得t=11； ④當兩圓第二次外切，由題意可得2t-11=1+t+1，解得t=13. 所以，點A出發3s，s，11s，13s時兩圓相切.

圓的運動變化包括質點的運動、直線的運動以及圖形的運動，綜合性強，很多同學見了就怕. 在解決此類問題時，一定要弄清圖形運動的全過程，分析出全過程中幾種不同的特殊位置關系，將這些特殊位置關系的圖形一一畫出來解決，正所謂變動中為靜. 很多同學都因畏難心理，不能理性分析而出錯.

如圖4所示，水平地面上有一面積為30π cm2的扇形AOB，半徑OA=6 cm，且OA與地面垂直，在沒有滑動的情況下，將扇形向右滾動至OB與地面垂直為止，則O點移動的距離為（ ）

A. 20 cm B. 24 cm

C. 10π cm D. 30π cm

一部分同學無從下手.

此題是以圓的運動為背景，解決此題的關鍵是抓住圖形運動的本質，即圖形上點的運動. 圓心O移動的距離就是點A的移動距離，也就是優弧AB的長，根據扇形面積與弧長之間的關系：S=lR，解得l=10π cm.

C

如圖5所示，已知⊙O的半徑為6 cm，射線PM經過點O，OP=10 cm，射線PN與⊙O相切于點Q. A，B兩點同時從點P出發，點A以5 cm/s的速度沿射線PM方向運動，點B以4 cm/s的速度沿射線PN方向運動，設運動時間為t s.

（1）求PQ的長.

（2）當t為何值時，直線AB與⊙O相切？

解決問題（1）后很多同學解不下去.

原因是對圖形的認識不夠，發現不到△PAB與△POQ相似，因此不知道△PAB是直角三角形. 只有滿足圓心到直線AB的距離等于6 cm時，直線AB與⊙O才相切. 若圓心O到直線AB的距離為OC的話，則四邊形QBCO是矩形. 結合矩形的性質BQ=CO可得關于t的方程，進而求出t值，這樣的t值有兩個，因為這樣的直線AB可在圓O的兩側.

（1）連結OQ，因為PN與⊙O相切于點Q，所以OQ⊥PN，即∠OQP=90°.由勾股定理得PQ==8 cm.

（2）過點O作OC⊥AB，垂足為點C. 因為點A的運動速度為5 cm/s，點B的運動速度為4 cm/s，運動時間為t s，所以PA=5t，PB=4t. 因為PO=10，PQ=8，所以=.又∠P=∠P，所以△PAB∽△POQ. 所以∠PBA=∠PQO=90°. 因為∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，所以四邊形OCBQ為矩形.所以BQ=OC. 因為⊙O的半徑為6，所以BQ=OC=6時，直線AB與⊙O相切.

①當AB運動到如圖6所示的位置時，BQ=PQ-PB=8-4t.由BQ=6得8-4t=6. 解得t=0.5.

②當AB運動到如圖7所示的位置時，BQ=PB-PQ=4t-8. 由BQ=6得4t-8=6. 解得t=3.5.

所以，當t為0.5 s或3.5 s時，直線AB與⊙O相切.

如圖8所示，兩同心圓中大圓半徑為3，小圓半徑為1，則圖中陰影部分的面積為_______.

部分同學無從下手.

圖中的陰影部分是不規則圖形，一下子就難倒了很多同學，其實它是圓環的一部分，運用整體思想不難發現它是圓環的一半. 可先求出圓環的面積，即大圓的面積減去小圓的面積，再將所求得的面積除以2即可.

4π.