圖形變換易錯筆記

已知線段AB=CD，AB與CD相交于點O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移所得，則AC+BD與AB的大小關系是（ ）

A. AC+BD

B. AC+BD=AB

C. AC+BD≥AB

D. 不能確定

A或B

本題考查平移的性質，應抓住平移過程中，對應線段相等，對應點的連線平行且相等兩個要點，否則解題無從入手，而三角形三邊關系的運用才能比較AC+BD>AB. 如果對題意理解不全面，則易漏掉AC+BD=AB這一情況，造成錯解.

AC與DB不平行時，如圖1，將AB沿AC平移到CE，連結BE，DE，由平移的特征可知AB=CE，AC=BE. 因為∠OCE=∠AOC=60°，AB=CD，所以△CDE為等邊三角形，即CD=DE=CE=AB. 因為DB+BE>DE，所以BD+AC>AB. 而當AC∥DB時，BD+AC=AB，故選C.

如圖2所示，將邊長為a的正方形ABCD沿直線l按順時針方向翻滾，當正方形翻滾一周時，正方形的中心O所經過的路徑長為_____.

4a.

未弄清中心O所經過的路徑長是指O點經過旋轉的四段弧長，而不是一條線段.

πa（O點運動的軌跡恰好能拼成一個圓）.

如圖3所示，把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線l上，按順時針方向在l上轉動兩次，使它轉到△A″B″C″的位置.設BC=1，AC=，則頂點A運動到點A″的位置時，點A經過的路線與直線l所圍成的面積是___________（計算結果不取近似值）.

π或π+π.

頂點A運動到點A″的位置時，點A經過的路線為和，對應的圓心角分別為120°和90°，與直線l所圍成的面積是兩個扇形的面積與△A′BC″的面積的和，同學們易遺漏△A′BC″的面積而致錯.

在△ABC中，BC=1，AC=，所以AB=2，∠ABC=60°. 所以∠ABA′=120°. 所以S=++×1×=π+π+=π+.

如圖4所示，在正方形紙片ABCD中，對角線AC，BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合. 展開后，折痕DE分別交AB，AC于點E和點G，連結GF. 有下列結論：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG. 其中正確結論的序號是______.

錯填或不全面，如①④，①②等.

沒有充分利用翻折這一條件，不能挖掘圖中角的度數，不能采用反推的方法判斷結論正確與否，就此題而言，錯誤最多的是結論⑤.

因為在正方形紙片ABCD中，折疊正方形紙片ABCD使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，所以∠GAD=45°，∠ADG=∠ADO=22.5°. 所以∠AGD=112.5°. 所以①正確.

因為tan∠AED=，又AE=EF2. 所以②錯.

因為AG=FG>OG，△AGD與△OGD同高，所以S△AGD>S△OGD . 故③錯.

根據題意可得AE=EF，AG=FG，又因為EF∥AC，所以∠FEG=∠AGE. 又因為∠AEG=∠FEG，所以∠AEG=∠AGE. 所以AE=AG=EF=FG. 所以四邊形AEFG是菱形，因此④正確.

因為在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE2=2EF2=2GF2=2×2OG2，所以BE=2OG. 因此⑤正確. 答案為①④⑤.

將三角形紙片（△ABC）按如圖5所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF. 已知AB=AC=3，BC=4，若以點B′，F，C為頂點的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是________.

只填或者只填2.

在判定三角形相似，未明確對應關系時，特別注意不要忘了分類討論，再根據不同的對應關系分別計算要求的線段.

（1）若△B′FC∽△ABC，此時=. 又CF=BC-BF=BC-B′F，所以可算出B′F的長，即BF的長. （2）若△F B′C∽△ABC，此時=，同理可以計算出BF的長. 最終答案為或2.

課題：兩個重疊的正多邊形，其中一個繞某一頂點旋轉所形成的有關問題.

實驗與論證 設旋轉角∠A1A0B1=α（∠A1A0A2>α），θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如圖6～圖9所示.

（1）用含α的式子表示角的度數：θ3=_______，θ4=_______，θ5=_______.

（2）圖6～圖9中，連結A0H時，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段.若存在，請選擇其中的一個圖給出證明；若不存在，請說明理由.

歸納與猜想 設正n邊形A0A1A2…An-1與正n邊形A0B1B2…Bn-1重合（其中，A1與B1重合），現將正n邊形A0B1B2…Bn-1繞頂點A0逆時針旋轉α（0°<α<）.

（3）設θn與上述“θ3，θ4，…”的意義一樣，請直接寫出θn的度數.

（4）試猜想在正n邊形的情形下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段. 若存在，請將這條線段用相應的頂點字母表示出來（不要求證明）；若不存在，請說明理由.

（1）60°-α，α，36°-α.

（2）答案不唯一，選圖6，圖6中有直線A0H垂直平分A2B1 . 證明如下：因為△A0A1A2與△A0B1B2是全等的等邊三角形，所以A0A2=A0B1 . 所以∠A0A2B1=∠A0B1A2 . 所以A2H=B1H. 所以點H在線段A2B1的垂直平分線上. 所以直線A0H垂直平分A2B1 .

（3）當n為奇數時，θn=-α；當n為偶數時，θn=α.

（4）存在，當n為奇數時，直線A0H垂直平分AB，當n為偶數時，直線A0H垂直平分AB.

很多同學求θ的度數時，不能從旋轉中有關角度的變與不變上突破；探究θn的度數與正n邊形中被A0H垂直平分的線段時，沒有分正偶數邊形和正奇數邊形兩種情形去思考與突破；缺乏歸納、推理的能力也是導致失分的一個重要因素.