圖形變換：對稱平移共演繹

1. 平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，我們所學的平移是指平面圖形在同一平面內的變換.

2. 圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個要素是圖形平移的依據.

3. 圖形的平移是指圖形整體的平移，經過平移后的圖形與原圖形相比只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個特征是得出圖形平移的基本性質的依據.

由平移的基本概念知，經過平移，圖形上的每一個點都沿同一個方向移動相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質：經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等.

①要正確找出“對應線段，對應角”，從而正確表達基本性質的特征.

②“對應點所連的線段平行且相等”，這個基本性質既可作為平移圖形之間的性質，又可作為平移作圖的依據.

簡單的平移作圖

平移作圖：確定一個圖形平移后的位置所需條件為：①圖形原來的位置；②平移的方向；③平移的距離.

4. 旋轉和平移一樣是圖形的一種基本變換.

5. 圖形旋轉的決定因素是旋轉中心、旋轉方向和旋轉的角度.

旋轉的基本性質：圖形中每一個點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段、對應角都相等，圖形的形狀、大小都不發生變化.

中心對稱圖形

①定義：在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180°，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心.

②性質：中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分.

③中心對稱與旋轉對稱的關系：中心對稱是旋轉角為180°的旋轉對稱.

④中心對稱的判定：如果兩個點的連線被某一點M平分，則這兩個點關于點M成中心對稱.

6. 簡單圖形的旋轉作圖兩種情況：

①給出繞著旋轉的定點，旋轉方向和旋轉角的大小；

②給出定點和圖形的一個特殊點旋轉后的對應點.

作圖步驟：

①作出圖形的幾個關鍵點旋轉后的對應點；

②順次連結各點得到旋轉后的圖形.

圖案設計：圖案的設計是由基本圖形經過適當的平移、旋轉、軸對稱等圖形的變換而得到的.其中中心對稱是旋轉變換的一種特例.

1. 如圖1所示，在6×4方格紙中，格點三角形甲經過旋轉后得到格點三角形乙，則其旋轉中心是（ ）

A. 點M B. 格點N

C. 格點P D. 格點Q

答案 B.

考點關鍵詞 本題目由旋轉的概念以及旋轉的基本性質入手：對應點到旋轉中心的距離相等.

2. 在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是（ ）

A B C D

答案 A.

考點關鍵詞 本題目考查了軸對稱圖形概念. 如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；本題要注意觀察C答案不是軸對稱圖形.

3. 小軍將一個直角三角板（如圖2）繞它的一條直角邊所在的直線旋轉一周形成一個幾何體，將這個幾何體的側面展開得到的大致圖形是（ ）

答案 D.

考點關鍵詞 本題目考查了旋轉之后的立體幾何圖形以及側面展開圖形，主要考查空間想象能力. 將一個直角三角板繞一條直角邊所在的直線旋轉一周形成一個圓錐，圓錐的側面展開圖形為扇形.

4. 如圖3所示，已知正方形ABCD的邊長為3，E為CD邊上一點， DE=1.以點A為中心，把△ADE順時針旋轉90°，得△ABF，連結EF，則EF的長等于___________.

答案 2.

考點關鍵詞 解決本題目的關鍵是根據旋轉后的圖形全等這個性質以及利用勾股定理求斜邊的長度.所以要求EF，可以將其放在Rt△AEF中利用勾股定理來求，也可以放在Rt△CEF中來求.

5. 如圖4所示，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直線l上向右作無滑動的翻滾，每繞著一個頂點旋轉60°叫一次操作，則經過36次這樣的操作菱形中心O所經過的路徑總長為（結果保留π）_____________.

答案 （8+4）π.

考點關鍵詞 本題目考查了旋轉的性質、圓的周長公式. 將36次翻滾分為12組，對3次為一組分析，前2次半徑一樣都為，后1次半徑為1，經過的路徑總長為（2π××+2π×1×）×12=（8+4）π.

6. 在如圖5所示的直角坐標系中，解答下列問題：

（1）分別寫出A、B兩點的坐標.

（2）將△ABC繞點A順時針旋轉90°，畫出旋轉后的△ABC .

（3）求出線段BA所在直線l的函數解析式，并寫出在直線l上從B到A的自變量x的取值范圍.

答案 （1）A（2，0），B（-1，-4）.

（2）所畫的圖如圖6所示.

（3）設線段BA所在直線 l 的解析式為y=kx+b（k≠0），因為B（-2，3），A（2，0），所以-2k+b=3，2k+b=0，k=-，b=.所以線段BA所在直線l的解析式為y=-x+，線段BA的自變量x的取值范圍是-2≤x≤2.

考點關鍵詞 本題目考查了平面直角坐標系、圖形的旋轉和用待定系數法解函數關系式.本題首先找出點A（2，0），B（-1，-4）. 第二問先找出B（-2，3）和C（-1，-1），然后連結A、B、C即可. 第三問利用待定系數法設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），將B（-2，3），A（2，0）代入.

7. 如圖7所示，將正方形ABCD中的△ABD繞對稱中心O旋轉至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N. 請猜想BM與FN有怎樣的數量關系，并證明你的結論.

答案 猜想BM=FN.在正方形ABCD中，BD為對角線，O為對稱中心，所以BO=DO ，∠BDA=∠DBA=45°. 因為△GEF為△ABD繞O點旋轉所得，所以FO=DO，∠F=∠BDA. 所以OB=OF，∠OBM=∠OFN.

在△OMB和△ONF中，

∠OBM=∠OFN，ΟΒ=ΟF，∠BOM=∠FON，

所以△OBM≌△OFN.

所以BM=FN.

考點關鍵詞 本題根據△GEF由△ABD繞O點旋轉所得，利用旋轉的性質得到∠OBM=∠OFN，ΟΒ=ΟF，∠BOM=∠FON，進而得到△OBM≌△OFN.