圓類試題，從不單調

點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系

1. 點與圓的位置關系有三種：點在圓外，點在圓上，點在圓內.

設圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則點在圓外？圳d>r；點在圓上？圳d=r；點在圓內？圳d

2. 直線和圓的位置關系有三種：相交、相切、相離.

設圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則直線與圓相交？圳dr.

3. 圓與圓的位置關系

（1）同一平面內兩圓的位置關系：

①相離，如果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離.

②若兩個圓心重合，半徑不同，則兩圓是同心圓.

③相切，如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切.

④相交，如果兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交.

（2）圓心距，兩圓圓心的距離叫圓心距.

（3）設兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R和r，則

①兩圓外離？圳d>R+r；此時兩圓共有4條公切線；

②兩圓外切？圳d=R+r；此時兩圓共有3條公切線；

③兩圓相交？圳R-rr）；此時兩圓共有2條公切線；

④兩圓內切？圳d=R-r（R>r）；此時兩圓共有1條公切線；

⑤兩圓內含？圳dr）；此時兩圓共有0條公切線.

注意：兩圓內含時，如果d為0，則兩圓為同心圓.

4. 切線的性質和判定

（1）切線的定義：直線和圓有唯一公共點稱直線和圓相切，此時這條直線叫做圓的切線.

（2）切線的性質：圓的切線垂直于過切點的直徑.

（3）切線的判定：經過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.

弧長、扇形的面積和圓錐側面積

1. 弧長公式：l=·n（n為圓心角的度數，R為圓的半徑）

2. 扇形的面積公式S=（n為圓心角的度數，R為圓的半徑）.

3. 圓錐的側面積S=πRl，（l為母線長，R為底面圓的半徑），圓錐的側面積與底面積之和稱為圓錐的全面積.

1. 如圖1所示，⊙O的直徑CD⊥AB，∠AOC=50°，則∠CDB大小為（ ）

A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°

答案 A.

考點關鍵詞 本題目考查圓心角定理、圓周角定理以及垂徑定理. 由CD⊥AB可知∠AOC=∠BOC=50°，所以∠CDB=25°.

2. 如圖2所示，已知AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠C=15°，則∠BOC的度數為（ ）

A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°

答案 B.

考點關鍵詞 本題目考查圓心角定理、圓周角定理以及等腰三角形的性質.由∠C=15°得∠A=15°，所以∠BOC=30°.

3. 已知圓O、圓O的半徑不相等，圓O的半徑為3，若圓O上的點A滿足AO=3，則圓O與圓O的位置關系是（ ）

A. 相交或相切 B. 相切或相離

C. 相交或內含 D. 相切或內含

答案 A.

考點關鍵詞 本題目考查了圓與圓的位置關系，下面是4種關系，還有其他關系嗎？

4. 一個扇形的圓心角為90°，半徑為2，則這個扇形的弧長為________（結果保留π）.

答案 π.

考點關鍵詞 本題目考查了弧長公式.與圓有關的計算一直是中考考查的重要內容，主要考點有：弧長和扇形面積及其應用，扇形弧長可用公式l=求得，由于本題n=90°，r=2，因此這個扇形的弧長為π.

5. 如圖4所示，BD是⊙O的直徑，OA⊥OB，M是劣弧上一點，過點M點作⊙O的切線MP交OA的延長線于P點，MD與OA交于N點.

（1）求證：PM=PN.

（2）若BD=4，PA=AO，過點B作BC∥MP交⊙O于C點，求BC的長.

答案 （1）連結OM， 因為MP是⊙O的切線，所以OM⊥MP.所以∠OMD+∠DMP=90°. 因為OA⊥OB，所以∠OND +∠ODM=90°. 又因為∠MNP=∠OND，∠ODM=∠OMD，所以∠DMP=∠MNP，所以PM=PN.

（2）設BC交OM于點E，BD=4，OA=OB=BD=2，所以PA=OA=3. 所以PO=5 . 因為BC∥MP，OM⊥MP，所以OM⊥BC，BE=BC. 因為∠BOM+∠MOP=90°，在Rt△OMP中，∠MPO+∠MOP=90°，所以∠BOM=∠MPO. 又因為∠BEO=∠OMP=90°. 所以△OMP∽△BEO. 所以=，進而=，所以BE=. 所以BC=.

考點關鍵詞 本題目主要考查了圓的切線、勾股定理、相似三角形.首先作輔助線OM，證明PM=PN，再利用勾股定理求出PO的長度，最后利用三角形相似列出比例關系即可求出BC的長.

6. 如圖5所示，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP，點D是上任一點（與端點A，B不重合），DE⊥AB于點E，以點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分別過點A，B作⊙D的切線，兩條切線相交于點C.

（1）求弦AB的長.

（2）判斷∠ACB是否為定值，若是，求出∠ACB的大小；否則，請說明理由.

（3）記△ABC的面積為S，若=4，求△ABC的周長.

答案 （1）連結OA，取OP與AB的交點為F，則有OA=1. 因為弦AB垂直平分線段OP，所以OF=OP=，AF=BF. 在Rt△OAF中，因為AF===，所以AB=2AF=.

（2）∠ACB是定值. 由（1）易知，∠AOB=120°，因為點D為△ABC的內心，所以，連結AD、BD，則∠CAB=2∠DAE，∠CBA=2∠DBA，因為∠DAE+∠DBA=∠AOB=60°，所以∠CAB+∠CBA=120°，所以∠ACB=60°.

（3）記△ABC的周長為l，取AC，BC與⊙D的切點分別為G，H，連結DG，DE，DH，則有DG=DH=DE，DG⊥AC，DH⊥BC.所以S=S+S+S=AB·DE+BC·DH+AC·DG=（AB+BC+AC）·DE=l·DE. 因為=4，所以=4. 所以l=8DE. 因為CG，CH是⊙D的切線，所以∠GCD=∠ACB=30°. 所以在Rt△CGD中，CG===DE. 所以CH=CG=DE.又由切線長定理可知AG=AE，BH=BE，所以l=AB+BC+AC=2+2DE=8DE，解得DE=3. 所以△ABC的周長為24.

考點關鍵詞 本題巧妙將垂徑定理、勾股定理、內切圓、切線長定理、三角形面積等知識綜合在一起，需要考生從前往后按順序解題，前面問題為后面問題的解決提供思路，是一道難度較大的綜合題. 首先連結OA，OP與AB的交點為F，則△OAF為直角三角形，且OA=1，OF=，借助勾股定理可求得AF的長； 要判斷∠ACB是否為定值，只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的內切圓，所以AD和BD分別為∠CAB和∠ABC的角平分線，因此只要∠DAE+∠DBA是定值，那么∠CAB+∠ABC就是定值，而∠DAE+∠DBA等于弧AB所對的圓周角，這個值等于∠AOB值的一半.