知識重在理解與應用,如何才能更好地利用知識幫助我們解題?其實最終都可以歸結為如何正確思考. 下面便以圖形旋轉中難度較高的試題為原型,為大家一一講述如何思考.
實踐操作綜合型
例題1 ?藎 閱讀下列材料.
小明遇到一個問題:如圖1所示,在正方形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD和DA邊上靠近A,B,C,D的n等分點,連結AF,BG,CH,DE,形成四邊形MNPQ. 求四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比(用含n的代數式表示).
小明的做法是:
先取n=2,如圖2所示,將△ABN繞點B順時針旋轉90°至△CBN′,再將△ADM繞點D逆時針旋轉90°至△CDM′,得到5個小正方形,所以四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是;
然后取n=3,如圖3所示,將△ABN繞點B順時針旋轉90°至△CBN′,再將△ADM繞點D逆時針旋轉90°至△CDM′,得到10個小正方形,所以四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是,即;
……
請你參考小明的做法,解決下列問題.
(1)在圖4中探究n=4時四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比(在圖4上畫圖并直接寫出結果).
(2)圖5是矩形紙片剪去一個小矩形后的示意圖,請你將它剪成三塊后再拼成正方形(在圖5中畫出并指明拼接后的正方形).
思路分析 對于(1),結合小明的操作方法以及圖形可知,
當n=2時, 四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是(2-1)2 ∶ (22+1);
當n=3時, 四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是(3-1)2 ∶ (32+1);
因此當n=4時, 可通過類比圖2、圖3的操作得到圖形.
于是可得到四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是(4-1)2 ∶ (42+1).
對于(2),因為由(1)中的圖2、圖3可知,所得結果是將原正方形中的兩個三角形作適當旋轉得到一個“刀把”圖形,因此要將圖5中的“刀把”示意圖剪成三塊后再拼成正方形,只需要對比圖3便可得到分割方法.
詳細解答 (1)類比圖2、圖3的操作可得到下列圖6.
所以四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是.
(2)拼接后的正方形是正方形ABCD,如圖7所示.
突破策略 與實際操作有關的數學問題,其難點不僅僅在于數學知識的綜合性強,還在于情景復雜,有時題干較長,題意不易讀懂.
解決此類問題的突破口是首先讀懂題意,其次追憶相關的已知“數學模型”,如本題就需要結合圖3.
閱讀理解型
例題2 ?藎 在平面內,先將一個多邊形以點O為位似中心放大或縮小,使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為k,并且原多邊形上的任一點P,它的對應點P′在線段OP或其延長線上;接著將所得多邊形以點O為旋轉中心,逆時針旋轉一個角度θ,這種經過旋轉的圖形變換叫做旋轉相似變換,記為O(k,θ),其中點O叫做旋轉相似中心,k叫做相似比,θ叫做旋轉角.
(1)填空:①如圖8所示,將△ABC以點A為旋轉相似中心,放大為原來的2倍,再逆時針旋轉60°,得到△ADE,這個旋轉相似變換記為A(_______,_______).
②如圖9所示,△ABC是邊長為1 cm的等邊三角形,將它作旋轉相似變換A(,90°),得到△ADE,則線段BD的長為_______cm.
(2)如圖10所示,分別以銳角三角形ABC的三邊AB,BC,CA為邊向外作正方形ADEB,BFGC,CHIA,點O,O,O分別是這三個正方形的對角線交點,試分別利用△AOO與△ABI,△CIB與△CAO之間的關系,運用旋轉相似變換的知識說明線段OO與AO之間的關系.
思路分析 根據規定易得(1)的答案.
對于(2),可先結合(1)確定變換后點A和點C的坐標,然后判斷線段OO與AO之間的關系.
詳細解答 (1)①2,60°. ②2.
(2)觀察可知△AOO經變換A(,45°)得到△ABI,線段OO變為線段BI;
△CIB經變換C,45°得到△CAO,線段BI變為線段AO . 因為·=1,45°+45°=90°,所以OO=AO,OO⊥AO .
突破策略 本題借助數學中的基本圖形:三角形、四邊形,以及基本變換的概念定義新變換,其中包含相似變換和旋轉變換.
解此類題的難點是理解新變換的定義,解決辦法重在克服心理障礙、讀懂變換規定,同時在分析時抓住變換前后的對應元素.
分類討論型
例題3 ?藎 如圖11所示,在直角坐標系中,已知點P的坐標為(1,0),將線段OP按逆時針方向旋轉45°,再將其長度伸長為OP的2倍,得到線段OP;
又將線段OP按逆時針方向旋轉45°,長度伸長為OP的2倍,得到線段OP;如此下去,得到線段OP,OP,…,OP(n為正整數).
(1)求點P的坐標.
(2)求△POP的面積.
(3)我們規定:把點P(x,y)(n=0,1,2,3,…)的橫坐標x、縱坐標y都取絕對值后得到的新坐標(x?搖,y)稱之為點P的“絕對坐標”. 根據圖中點P的分布規律,請你猜想點P的“絕對坐標”,并寫出來.
思路分析 對于(1),依次計算P,P,P,P,P,P即可.
對于(2),可先計算三角形PPO的面積,然后利用“相似三角形的面積比等于相似比的平方”計算△POP的面積.
對于(3),由題意知OP旋轉8次之后回到x軸正半軸,在這8次中,點P分別落在坐標象限的平分線上或x軸上或y軸上,但各點絕對坐標的橫、縱坐標均為非負數,因此,點P的坐標可分三類情況.
詳細解答 (1)根據旋轉規律,點P落在y軸的負半軸,而點P到坐標原點的距離始終等于前一個點到原點距離的2倍,故所求的P的坐標為(0,-26).
(2)由已知可得△POP∽△POP∽…∽△POP .
設P(x,y),
則y=2sin45°=.
所以S=×1×
=.
又因為=32,
所以=2=1024.
所以S=1024×=512.
(3)令旋轉次數為n.
①當n=8k或n=8k+4時(其中k為自然數),點P落在x軸上,此時點P的絕對坐標為(2n,0).
②當n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時(其中k為自然數),點P落在各象限的平分線上,此時點P的絕對坐標為·2n,·2n,即(2n-1,2n-1).
③當n=8k+2或n=8k+6時(其中k為自然數),點P落在y軸上,此時點P的絕對坐標為(0,2n).
突破策略 本題是一道綜合性問題,涉及的知識點除了平面直角坐標系、三角形的面積以及相似三角形等相關知識外,還有旋轉;涉及的數學思想方法主要為分類討論思想以及歸納概括思想.
解題時不僅要準確理解旋轉過程中的“動線”和“動點”,更重要的是能利用分類思想討論清楚點P的位置.