圓中的動點問題

點在圓弧上運動

如圖1所示，扇形OAB的半徑OA=3，圓心角∠AOB=90°，點C是弧AB上異于A，B的動點，過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，連結DE，點G，H在線段DE上，且DG=GH=HE.

求證：CD2+3CH2是定值.

題中半徑不變，DG，GH和HE之間的等量關系不變，可過點H作HF⊥CD于點F，構造相似三角形，應用相似及勾股定理等知識用CD2來表示CH2，求出CD2+3CH2是一個定值.

連結OC，易證四邊形ODCE為矩形，所以DE=OC=OA=3. 所以DH=2. 過點H作HF⊥CD于點F，因為EC⊥CD，所以HF∥EC. 所以△DHF∽△DEC.所以==. 所以DF=CD，CF=CD-FD=CD. 在Rt△CHF中，CH2=HF2+CF2=HF 2+CD2；在Rt△HFD中，HF 2=DH2-DF2=4-CD2，所以CH2=4-CD2. 所以CD2+3CH2=CD2+34-CD2=12，即CD2+3CH2是定值.

如圖2所示，AB為⊙O的直徑，OC=4，∠OAC=60°，一動點M從點A出發，在⊙O上按逆時針方向運動，當S△MAO=S△COA時，求動點M所經過的弧長.

要使得S△MAO=S△COA，△MAO與△COA就必須同底等高，因此先要確定滿足條件的點M，再確定弧AM所對的圓心角的大小，這樣就可以求出動點M經過的弧長.

（1）作點C關于直徑AB的對稱點M1，連結AM1，OM1. 易得S=S，∠AOM1=60°，所以l=·60=π. 所以當點M運動到M1時，S△MAO=S△COA，此時點M經過的弧長為π.

（2）過點M1作M1M2∥AB交⊙O于點M2，連結AM2，OM2，易得S=S，所以∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°. 所以l=π·2=π或l=·120=π. 所以，當點M運動到M時，S△MAO=S△COA，此時點M經過的弧長為π.

（3）過點C作CM3∥AB交⊙O于點M3，連結AM3，OM3，易得S=S，且∠BOM3=60°. 所以l=·240=π或l=π·2=π. 所以當點M運動到M3時，S△MAO=S△COA，此時點M經過的弧長為π.

（4）當點M運動到點C時，S△MAO=S△COA，此時點M經過的弧長為·300=π或π+π=π.

點在線段上運動

如圖3所示，△ABC內接于⊙O，∠B=90°，AB=BC，點D是⊙O上與點B關于圓心O成中心對稱的點，點P是BC邊上一點，連結AD，DC，AP，已知AB=8，CP=2，點Q是線段AP上一動點，連結BQ并延長交四邊形ABCD的一邊于點R，且滿足AP=BR，則的值為______.

研究點Q，R的運動過程發現，隨著點Q在線段AP上運動，點R也在四邊形ABCD邊上運動，即落在四邊形ABCD的邊AD或邊CD上，可畫出圖形，再應用全等、相似等知識求出的值.

（1）當點R在AD邊上時，如圖4所示，由題意可知四邊形ABCD是正方形，因為BP=BC-PC=6，AB=8，所以AP==10.

易證△ABP≌△BAR，所以AR=BP，BR=AP=10.

又△AQR≌△PQB，所以BQ=QR. 所以的值為1.

（2）當點R在CD邊上時，如圖5所示，易證△ABP≌△BCR，所以∠BPA=∠CRB，BR=AP=10.

又∠PBQ=∠RBC，所以△BPQ∽△BRC . 所以=.

又BP=6， BR=10，BC=8，所以BQ==4.8，QR=5.2.

所以的值為.

綜上所述，的值為1或.