圖形巧變我妙解

在初中幾何的學習中，幾何圖形的變換是我們學習的難點也是亮點.往往在圖形的巧妙變化中，在解決這些變化的思考過程和美妙體驗中，蘊涵其中的數學技巧和方法才會逐步顯現其真面目，同時數學經驗才會得到升華，數學之美才會得以充分展現. 下面我們舉例說明.

試題1 ？藎 已知AB=AC，點D是直線BC上一點（不與點B，C重合），DE⊥AB，CH⊥AB，DF⊥AC，點E，F，H是垂足.

（1）如圖1所示，當點D是BC中點時，你認為線段ED，DF，CH的數量關系是______________.

（2）如圖2所示，當點D是BC上非中點的任意一點時，線段ED，DF，CH的數量關系是什么？說明你的理由.

（3）如圖3所示，當點D是BC延長線上一點時，線段ED，DF，CH的數量關系是什么？說明你的理由.

技巧呈現 （1）觀察可得ED=DF=CH. 可用三角形面積公式驗證，即連結AD，則S△ABC=S△ABD=S△ACD . 代入三個三角形的底和高即可得到結論. 也可以用三角形全等和三角形中位線定理來證明.

（2）當點D是BC上非中點的任意一點時，（1）小題結論中的線段ED=DF明顯已經不成立，但ED+DF的和似乎沒變，可以猜測并論證ED+DF=CH. 仿照（1）小題的解法，連結AD，那么S△ABC=S△ABD+S△ACD .代入三個三角形的底和高，而三個三角形的底相等，即可得到結論.

（3）觀察圖3會發現ED，DF，CH的長短關系發生了變化，觀察猜想可得數量關系ED-DF=CH. 延續（2）小題的解題思路，可以連結AD（如圖5所示），那么S△ABC=S△ABD-S△ACD .代入三個三角形的底和高，而三個三角形的底相等，即可得到結論.

參考答案 （1）ED=DF=CH.

（2）如圖4所示，連結AD，那么S△ABC=S△ABD+S△ACD . 因為DE⊥AB，CH⊥AB，DF⊥AC，所以AB·CH=AB·DE+AC·DF. 因為AB=AC，所以AB·CH=AB·DE+AB·DF=AB（DE+DF）. 所以ED+DF=CH.

（3）如圖5所示，連結AD，則S△ABC=S△ABD-S△ACD .

因為DE⊥AB，CH⊥AB，DF⊥AC，所以AB·CH=AB·DE-AC·DF.

因為AB=AC，所以AB·CH=AB·DE-AB·DF=AB（DE-DF）. 所以ED-DF=CH.

畫龍點睛 此題的圖形變換“巧”，“巧”在點D在等腰三角形的底邊運動時產生了不同的圖形，產生了不同的三條高的數量關系，而我們的解法則“妙”，“妙”在三種變化得出的三條高的數量關系都可以用同一種方法解決，簡捷清楚，同時，也學會了解決多“高”問題的常用數學方法：面積法.

試題2 ？藎 把一個正方形分割成全等的四部分，除了圖6提供的三種方法，請在圖7和圖8中畫出其他兩種.

技巧呈現 觀察圖形，可以發現圖6中的后兩個圖都是兩條經過正方形中心的垂直直線分割出來的，那是不是還可以利用這兩條直線，繼續圍繞正方形中心旋轉得到新的答案呢？不難發現這兩條垂足在正方形中心的垂直直線，旋轉到任何一個角度，都會把正方形分割成全等的四部分，而且，兩條線不一定都是直線，只要把任意一條過中心的曲線圍繞正方形中心旋轉90°，得到的曲線再圍繞正方形中心旋轉90°旋轉三次，就會把正方形分割成全等的四部分.

參考答案 如圖9、圖10所示.

畫龍點睛 ？搖題目“巧”在蘊涵的數學技巧和方法是我們平時沒有深挖過的，我們的解答則“妙”在沒有敷衍了事，而是找到了解決此類題目的根源：如果是圍繞中心進行n°旋轉，就可以與原圖重合的正邊形，只要任意曲線圍繞正邊形中心旋轉-1次，每次旋轉n°，都會把正邊形分割成全等的部分.

試題3 ？藎 （1）如圖11所示，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結AC和BD，相交于點E，連結BC，求∠AEB的大小.

（2）如圖12所示，△OAB固定不動，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞著點O旋轉（△OAB和△OCD不能重疊），求∠AEB的大小.

（3）如圖13所示，（2）小題中的△OAB固定不動，△OCD變大，保持△OCD的形狀不變，將△OCD繞著點O旋轉（△OAB和△OCD不能重疊），求∠AEB的大小.

技巧呈現 （1）小題解答要容易一些，因為以點O為頂點的∠AOB=∠COB=∠COD=60°，

所以等腰三角形BOD和等腰三角形AOC的兩底角都是（180°-120°）=30°.

∠AEB作為△AED的外角，等于∠ADB+∠CAD=60°或因為∠AEB+∠EBO=∠AOB+∠EAO，所以∠AEB=∠AOB=60°.

（2）小題和（1）小題的條件相比，∠COB的度數發生了變化，但仍有等腰三角形BOD和等腰三角形AOC，而且這兩個等腰三角形仍然全等，所以∠EBO=∠EAO.

又因為∠AEB+∠EBO=∠AOB+∠EAO，所以∠AEB=∠AOB=60°.

（3）小題和（2）小題的條件相比，△BOD和△AOC已經不再等腰，但這兩個三角形仍然全等，所以仍然有∠EBO=∠EAO.

而∠AEB+∠EBO=∠AOB+∠EAO，所以∠AEB=∠AOB=60°.

參考答案 （1）∠AEB=60°.

（2）∠AEB=60°.

（3）因為在等邊三角形OAB和等邊三角形OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠ BOD=∠AOC.

所以△BOD≌△AOC.

所以∠EBO=∠EAO.

因為∠AEB+∠EBO=∠AOB+∠EAO，所以∠AEB=∠AOB=60°.

畫龍點睛 對于本題，如果我們巧妙地抓住了此題圖形變換中始終不變的全等三角形OAC和OBD，那么，圖形怎么變化都在我們的掌握之中.