旋轉類試題解析

如圖1所示，Rt△ABC的斜邊AB=5 cm，直角邊AC=4 cm，BC=3 cm，以直線AB為軸旋轉一周，得到的幾何體的表面積為_______.

16.8π.

如圖3所示，已知點A為∠POQ的邊OQ上一點，以點A為頂點的∠MAN的兩邊分別交射線OP于M，N兩點，且∠MAN=∠POQ=α（α為銳角），當∠MAN以點A為旋轉中心，AM邊從與AO重合的位置開始，按逆時針方向旋轉（∠MAN保持不變）時，M，N兩點在射線OP上同時以不同的速度向右平行移動，設OM=x，ON=y（y>x≥0），△AOM的面積為S，且cosα，OA是方程2z2-5z+2=0的兩個根.

（1）當∠MAN旋轉30°（即∠OAM=30°）時，求點N移動的距離.

（2）求證：AN2=ON·MN.

（1）因為2z2-5z+2=0，所以z1=，z2=2. 所以cosα=，α=60°，OA=2.當∠MAO=30°時，△AOM為直角三角形，∠AMO=90°，所以OM=OA=1.所以MN=OA·sin60°÷tan30°=3. 所以ON=4. 而在初始位置時NO=2，則N點移動的距離為2.

（2）因為∠AOM=∠MAN=α，而∠ANM是公共角，所以△AMN∽△OAN. 所以=. 所以AN2=ON·MN.

如圖4所示，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起，現正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉.

（1）如圖5所示，當EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，FN的長度，猜想BM，FN滿足的數量關系，并證明你的猜想.

（2）若三角尺GEF旋轉到如圖6所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

（1）BM=FN. 因為△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，所以∠ABD=∠F=45°，OB=OE=OF. 又因為∠BOM=∠FON，所以 △OBM≌△OFN. 所以 BM=FN.

（2）BM=FN仍然成立. 因為△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，所以∠DBA=∠GFE=45°，OB=OE=OF. 所以∠MBO=∠NFO=135°. 又因為∠MOB=∠NOF，所以 △OBM≌△OFN. 所以BM=FN.