巧補形，妙解題

同學們平時解題時，經常跳不出條條框框的束縛，不是圍著書本和教師轉，就是陷入題海之中，得不到主動發展.本文以2009年武漢市中考數學試卷第24題第2問為例，談如何多方位、多角度、多層次地思考問題.

如圖1所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，點O是AC邊上一點，連結BO交AD于點F，OE⊥OB交BC邊于點E.

（1）求證：△ABF∽△COE.

（2）當點O為AC的中點，=2時，求的值.

（3）當點O為AC的中點，=n時，請直接寫出的值.

解析 （1）證明略.

第（2）問除了參考答案給出的兩種方法外，能否找到更實用且相對簡便的方法呢？筆者認為只要充分利用已有信息，聯想熟悉的基本圖形，不難得出以下解法.

（2）因為AC=2AB，點O是AC的中點，所以AB=AO=OC. 由（1）有△ABF∽△COE，所以△ABF≌△COE. 所以BF=OE. 又∠BAC=90°，AD⊥BC，由射影定理得AB2=BD·BC，AC2=CD·BC，所以CD ∶ BD=AC2 ∶ AB2=4 ∶ 1.

方法1 過點O作OH⊥BC，垂足為點H（圖略），因為AD⊥BC， 所以AD∥OH. 所以OF ∶ BF=HD ∶ BD. 因為點O是AC的中點，AD∥OH，所以點H是CD的中點. 所以DH ∶ BD=2 ∶ 1. 所以OF ∶ OE=OF ∶ BF=2 ∶ 1.

方法2 過點O作OH⊥AD，垂足為點H（圖略），則OF ∶ OE=OF ∶ BF=OH ∶ BD.

易證CD=2OH，所以OH ∶ BD=2 ∶ 1. 所以OF ∶ OE=2 ∶ 1.

方法3 過點B作BM∥AC交AD的延長線于點M（圖略）. 由△AOF∽△MBF得OF ∶ BF=AO ∶ BM；由△ACD∽△MBD得AC ∶ BM=CD ∶ BD=4 ∶ 1. 因為AC=2AO，所以OF ∶ BF=AO ∶ BM=2 ∶ 1.

方法4 過點C作CG⊥BC，交BO的延長線于點G（圖略），則AD∥CG. 所以GF ∶ BF=CD ∶ BD=4 ∶ 1. 易證GF=2OF，所以OF ∶ BF=2 ∶ 1. 所以OF ∶ OE=2 ∶ 1.

方法5 過點O作OP∥AD，交BA的延長線于點P（圖略），則OF ∶ BF=PA ∶ AB. 易證△OAP≌△BAC. 所以AP=AC. 因為AC ∶ AB=2 ∶ 1，所以OF ∶ OE=OF ∶ BF=PA ∶ AB=2 ∶ 1.

點評 以上五種解法通過添加輔助線，補全出“雙垂直相似”和“平行線型的相似”這兩個基本圖形，把AC ∶ AB=2 ∶ 1轉化為CD ∶ BD=4 ∶ 1，用BF代換OE，然后把OF ∶ BF放到平行線型的相似三角形中，使問題得到解決.

方法6 如圖2所示，連結EF，取EF的中點I. 因為∠EOF=∠EDF=90°，所以D，E，O，F四點到點I的距離相等. 所以D，E，O，F四點在以點I為圓心，IE為半徑的圓上. 所以∠EFO=∠EDO. 又因為∠ADC=90°，點O是AC的中點，所以DO=CO. 所以∠EDO=∠C. 所以∠EFO=∠C. 因為∠EOF=∠BAC=90°，所以△EOF∽△BAC. 所以OF ∶ OE=AC ∶ AB=2 ∶ 1.

點評 連結EF，補全有公共直角邊的兩個直角三角形，發現四個頂點到斜邊中點的距離相等，根據“圓的定義”得D，E，O，F四點共圓，再由“同弧所對的圓周角相等”得出∠EFO=∠EDO；連結DO，又補全成“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一基本圖形，所以DO=CO，∠EDO=∠C，從而可直接證到結論. 該解法別具匠心，相當精妙，而且解決第（3）問特別方便.

以上幾種解法，通過補全相似形，將題設的條件及數量關系在圖形中得到實現，充分揭示了圖形的內涵，解答過程極具想象力和創造力，尤其方法6，構造輔助圓，解法簡捷且具有一般性. 其實只要同學們平時注意多觀察、多思考、多探索、多積累，數學解題一定會變得生機盎然，充滿樂趣.