圓與函數“聯姻”

（2010廣東茂名）如圖1所示，在直角坐標系xOy中，設⊙O1的圓心O1的坐標為（R，R），當反比例函數y=（k>0）的圖象與⊙O1有兩個交點時，求k的取值范圍.

不妨先從特殊情形考慮，即先分別求出反比例函數y= （k>0）的圖象經過⊙O1的直徑AD的兩個端點時對應的k的取值，再運用“兩邊夾”的策略就可求出雙曲線與圓只有兩個交點時k的取值范圍.

設經過點O和O1的直線交⊙O1于A，D兩點，則由已知可得直線OO1：y=x是圓與反比例函數圖象的對稱軸. 當反比例函數y=的圖象與⊙O1的直徑AD相交時（點A，D除外），反比例函數y=（k>0）的圖象與⊙O1有兩個交點. 過點D作DB⊥x軸交x軸于點B，過點O1作O1C⊥x軸交x軸于點C，OO1=O1C÷sin45°=R，OD=R+R，所以OB=DB=OD·sin45°=（R+R）·=R+. 因此點D的坐標是R+，R+. 將點D的坐標代入y=，解得k=+R2. 同理可求得點A的坐標為R-，R-. 將點A的坐標代入y=，解得k=-R2. 所以，當反比例函數y=（k>0）的圖象與⊙O有兩個交點時， k的取值范圍為-R2

（2010廣東深圳）如圖2所示，以點M（-1，0）為圓心的圓與y軸、x軸分別交于點A，B，C，D，直線y=-x-與⊙M相切于點H，交x軸于點E，交y軸于點F.

（1）請直接寫出OE，⊙M的半徑r和CH的長.

（2）如圖3所示，弦HQ交x軸于點P，且DP ∶ PH=3 ∶ 2，求cos∠QHC的值.

（3）如圖4所示，點K為線段EC上一動點（不與點E，C重合），連結BK交⊙M于點T，弦AT交x軸于點N. 是否存在一個常數a始終滿足MN·MK=a？如果存在，請求出a的值；如果不存在，請說明理由.

（1）利用特殊角的三角函數和切線的性質易求出相關線段.

（2）求cos∠QHC的值必須要構造直角三角形. 由于CD是直徑，連結QD，QC即得直角三角形，且∠QHC=∠QDC. 再由△CHP∽△QDP及DP ∶ PH=3 ∶ 2，CH=2就可求出QD，問題即可解決.

（3）幾何中的等積式大多由比例式變形而來，所以，我們一方面要尋找包含線段MN，MK的比例關系式；另一方面，考慮到乘積式的結果與常數的關聯性，在構建比例關系時，還需引入表示半徑或直徑的線段，于是可構造△AMK與△NMA相似，便可達到解題目的.

（1）OE=5，r=2，CH=2.

（2）連結QC，QD，則∠CQD=90°，∠QHC=∠QDC.

易知△CHP∽△QDP，故=，即=，所以DQ=3.

由于CD=4，所以cos∠QHC=cos∠QDC==.

（3）連結AK，AM，延長AM與圓交于點G，連結TG，則∠GTA=90°. 所以∠TAG+∠AGT=90°. 因為∠TBA=∠TGA，所以∠TAG+∠TBA=90°. 由于∠BKO+∠TBA=90°，故∠BKO=∠TAG. 而∠BKO=∠AKM，故∠AKM=∠TAG. 在△AMK和△NMA中，∠AKO=∠TAG，∠AMK=∠NMA，故△AMK∽△NMA. 所以=，即MN·MK=AM2=4. 故存在常數a，始終滿足MN·MK=a，且常數a=4.

（2010山東濰坊）如圖5所示，拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3），以AB為直徑作⊙M，過拋物線上一點P作⊙M的切線PD，切點為D，并與⊙M的切線AE相交于點E. 連結DM并延長交⊙M于點N，連結AN，AD.

（1）求拋物線所對應的函數關系式及拋物線的頂點坐標.

（2）若四邊形EAMD的面積為4，求直線PD的函數關系式.

（3）拋物線上是否存在點P，使得四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

（1）求函數的解析式一般采用待定系數法，當已知拋物線與x軸交點的橫坐標時，可設拋物線解析式為y=a（x-x1）（x-x2），把A，B，C三點坐標代入即可求解.

（2）由已知可證得△EAM≌△EDM，結合S四邊形AMDE=4，求出點E，D的坐標，再用待定系數法就可求直線PD的函數關系式.

（3）先假設結論存在，可以此為條件進行運算或推理，若推理出矛盾結果，則否定假設，說明P點不存在；若推出合理結論，則說明假設成立，即P點存在.

（1）因為拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，于是設拋物線的函數關系式為y=a（x+1）（x-3）. 因為拋物線與y軸交于點C（0，-3），所以-3=a（0+1）（0-3）. 所以a=1. 所以拋物線的函數關系式為y=x2-2x-3. 又y=（x-1）2-4，因此拋物線的頂點坐標為（1，-4）.

（2）連結EM，因為EA，ED是⊙M的兩條切線，所以EA=ED，EA⊥AM，ED⊥MN. 所以△EAM≌△EDM.

又四邊形EAMD的面積為4，所以S△EAM=2. 所以AM·AE=2. 又AM=2，所以AE=2.

因此，點E的坐標為E（-1，2）或E（-1，-2）. 當E點在第二象限時，E（-1，2），切點D在第一象限. 在直角三角形EAM中，tan∠EMA===，所以∠EMA=60°. 所以∠DMB=60°. 過切點D作DF⊥AB，垂足為點F，則MF=1，DF=. 因此，切點D的坐標為（2，）.

設直線PD的函數關系式為y=kx+b，將E（-1，2），D（2，）的坐標代入得=2k+b，2=-k+b.

解之得k=-，b=.

所以直線PD的函數關系式為y=-x+.

當E點在第三象限時，E（-1，-2），切點D在第四象限. 同理可求切點D的坐標為（2，-），直線PD的函數關系式為y=x-. 因此直線PD的函數關系式為y=-x+或y=x-.

（3）若四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積，又S四邊形EAMD=2S△EAM，S△DAN=2S△AMD，所以S△AMD=S△EAM . 所以E，D兩點到x軸的距離相等. 因為PD與⊙M相切，所以點D與點E在x軸同側. 所以切線PD與x軸平行. 此時切線PD的函數關系式為y=2或y=-2. 當y=2時，由y=x2-2x-3得x=1±；當y=-2時，由y=x2-2x-3得x=1±.

故滿足條件的點P的位置有4個，分別為P1（1+，2），P2（1-，2），P3（1+，-2），P4（1-，-2）.