如何認(rèn)識(shí)問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)

引言 對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解，實(shí)質(zhì)上是對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)的一種認(rèn)識(shí)或揭示.對(duì)客觀存在著的問(wèn)題結(jié)構(gòu)，人們的認(rèn)識(shí)會(huì)有深有淺，從而產(chǎn)生淺層結(jié)構(gòu)與深層結(jié)構(gòu)的區(qū)別.

（1）對(duì)問(wèn)題本身的淺層認(rèn)識(shí)首先表現(xiàn)為：停留在事實(shí)性內(nèi)容或敘述形式（甚至條件出現(xiàn)的前后）上，從而看不透：不同的事實(shí)性內(nèi)容或不同的敘述形式有相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，但發(fā)現(xiàn)不了缺少一針見(jiàn)血的本質(zhì)揭示.

（2）對(duì)問(wèn)題解法的淺層認(rèn)識(shí)首先表現(xiàn)為：?jiǎn)栴}雖能求解但比較麻煩，或者是過(guò)程過(guò)于曲折，或者是無(wú)思維、思路，或者是對(duì)非本質(zhì)條件的過(guò)分依賴等，其原因是對(duì)差距題的結(jié)構(gòu)未看透，同時(shí)也表現(xiàn)為把兩種實(shí)質(zhì)相同的解題途徑分割為了兩個(gè)互不相關(guān)的解法.

（2010江蘇無(wú)錫）（1）如圖1所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是BC邊（不含端點(diǎn)B，C）上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是∠DCP平分線上一點(diǎn)，若∠AMN=90°，求證：AM=MN.

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明.

證明：在邊AB上截取AE=MC，連結(jié)ME，在正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC，所以∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE.

（下面請(qǐng)你完成余下的證明過(guò)程）

（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2所示），點(diǎn)N是∠ACP平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠AMN=60°時(shí)，結(jié)論AM=MN是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD……X”，請(qǐng)你作出猜想：當(dāng)∠AMN=_______時(shí)，結(jié)論AM=MN仍然成立（直接寫(xiě)出答案，不需要證明）.

思路探究 證兩條線段相等，最常用的方法是證明兩條線段所在的三角形全等. （1）中給出了線段EM，即是想提示證明△AEM≌△MCN. 由題目中的條件知，只需再找一角即可.（2）中解法同（1），在AB上構(gòu)造出線段AE=MC，連結(jié)ME，進(jìn)一步證明△AEM≌△MCN即可. （3）是將（1）（2）中的特殊問(wèn)題推廣到一般情況，應(yīng)抓住本質(zhì)：∠AMN與正多邊形的內(nèi)角度數(shù)相等.

簡(jiǎn)證 （1）因?yàn)锳E=MC，所以BE=BM， 所以∠BEM=∠EMB=45°. 所以∠AEM=135°. 因?yàn)镃N平分∠DCP，所以∠PCN=45°. 所以∠AEM=∠MCN=135°. 在△AEM和△MCN中，因?yàn)椤螦EM=∠MCN，AE=MC，∠EAM=∠CMN，所以△AEM≌△MCN. 所以AM=MN.

（2）仍然成立，理由如下.

在邊AB上截取AE=MC，連結(jié)ME（圖略）. 因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AB=BC，∠B=∠ACB=60°. 所以∠ACP=120°. 因?yàn)锳E=MC，所以BE=BM. 所以∠BEM=∠EMB=60°. 所以∠AEM=120°. 因?yàn)镃N平分∠ACP，所以∠PCN=60°. 所以∠AEM=∠MCN=120°. 因?yàn)椤螩MN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM，所以△AEM≌△MCN. 所以AM=MN.

（3）.

反思1 換一個(gè)思維角度，我們從圖1的結(jié)論出發(fā)，若連結(jié)AN，則Rt△AMN應(yīng)該是等腰直角三角形，如果作出Rt△ANM的外接圓，有何發(fā)現(xiàn)呢？點(diǎn)C也在這個(gè)圓上嗎？一個(gè)接近問(wèn)題深層結(jié)構(gòu)的“輔助圓”證法來(lái)到眼前！

證明 如圖3所示，連結(jié)AC. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，CN平分∠DCP，所以∠ACD=∠ACB=∠BCD=×90°=45°，∠DCN=∠DCP=×90°=45°. 所以∠ACN=∠ACD+∠DCN=45°+45°=90°. 因?yàn)椤螦MN=90°，連結(jié)AN，構(gòu)造以AN為直徑的⊙O，則M，C都在⊙O上，即A，M，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，如圖3所示. 所以∠ANM=∠ACB=45°. 所以∠MAN=90°-45°=45°. 所以AM=MN.

反思2 上述方法還可以推廣到：（2010湖北黃岡，有刪減）如圖4所示，當(dāng)點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線上（除點(diǎn)C外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變時(shí)，結(jié)論“AE=EF”仍然成立.

思路簡(jiǎn)述 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，CF平分∠DCG，所以∠ACD=∠ACB=∠BCD=×90°=45°，∠DCF=∠FCG=∠DCG=×90°=45°. 所以∠ACF=∠ACD+∠DCF=45°+45°=90°. 因?yàn)椤螦EF=90°，連結(jié)AF，構(gòu)造以AF為直徑的⊙O，則E，C都在⊙O上，即A，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，如圖4所示.所以∠FAE=∠FCG=45°. 所以∠EFA=90°-45°=45°. 所以AE=EF.

反思3 可以看出，構(gòu)造輔助圓的方法揭示了問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，我們不僅可以處理這里正方形為載體的問(wèn)題，例題中第（2）問(wèn)“將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2所示）”，也可運(yùn)用構(gòu)造輔助圓的思路，請(qǐng)看下面的圖5和圖6.

結(jié)語(yǔ) 上面這些解題反思的案例說(shuō)明，數(shù)學(xué)問(wèn)題（包括解法）是有結(jié)構(gòu)的，對(duì)這種結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)又是有深淺之分的，它是解題主體認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平或優(yōu)化程度在解題活動(dòng)中的反映. 那么，怎樣提高解題的認(rèn)知水平呢？經(jīng)驗(yàn)表明，自覺(jué)進(jìn)行解題過(guò)程的反思分析是促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)優(yōu)化的一個(gè)有效途徑.