由“將軍飲馬”說起
2012-04-29 00:00:00劉東升
數學教學通訊·小學版 2012年12期
相傳，海倫是古希臘亞歷山大城精通數學、物理的學者. 一天，一位將軍向他請教一個問題：如圖1所示，將軍準備從A點出發，想讓馬到一條筆直的河流上去飲水，然后再去B地，那么，怎樣走路線最短呢？海倫稍加思索，建立以下數學模型，便解決了這個問題，請看：
他把河岸看作直線l. 如圖2所示，先取A（或B）關于直線l的對稱點A′（或B′），連結A′B（或B′A），與直線交于一點P，則點P就是將軍飲馬的地點，且PA+PB即為最短路線.
說明 設點P1是河岸l上異于點P的任意一點，連結P1A，P1A′，P1B. 因為點A與點A′關于l對稱，所以PA=PA′，P1A=P1A′. 所以PA+PB=PA′+PB=A′B， P1A+P1B=P1A′+P1B. 在△A′P1B中，P1A′+P1B>A′B，所以P1A+P1B>PA+PB. 所以點P到A，B的距離之和最短.
這個問題后來被稱為“將軍飲馬”問題. 需要指出的是，它是一個十分重要的“最值模型”，如人教版課標實驗教材《數學》八年級（上）“13.2軸對稱變換”，在“探究”欄目中設置的“選址修建泵站”的問題，即“要在燃氣管道l上修建一個泵方，使所用的輸氣管線最短”，其數學模型就是“將軍飲馬”問題. 這個模型在初中的解題中經常用到，同學們一定要掌握其使用方法.
