數學教學中學生創新思維能力的培養
2012-04-29 00:00:00陶磊
中學教學參考·語英版 2012年2期
在中學數學教學中，教師引導學生靈活運用教材積極進行探索，在實踐中培養學生的創新意識，無疑有利于提高學生的數學素養.然而，如何培養學生的創新思維，不僅需要教師的因勢利導，也需要學生的積極思考與配合.本文就在數學教學中如何培養學生的創新思維能力進行探討.
一、引導學生逆向思維，培養思維的發散性
在研究數學問題的過程中，教師應引導學生去做與習慣思維方法完全相反的探索，這種思維方法正是發散思維的一種.事實上，關于“逆向”思維方法在中學數學教材中比比皆是，如乘法和除法、乘方和開方、定理和逆定理、命題和逆命題、進與退、動與靜……在課堂教學中有意識地培養學生的逆向思維能力，主要體現在以下幾個方面：
1．公式、法則的逆用
在不少數學公式的教學中，都需要將公式變形或將公式、法則逆過來用，如三角函數、等差和等比數列等公式的形成，而學生在自行解題時恰恰缺少這種基本功.因此，在教學中應加強這方面的訓練，以培養學生逆向應用公式、法則的意識.
2．常規解題方法的逆用
在研究、解決問題的過程中，經常引導學生去做與習慣性思維方向相反的探索.其主要的思路是：順推不行就考慮逆推；直接解決不了就考慮間接解決；從正面入手解決不了就考慮從問題的反面入手；探求問題的可能性有困難就考慮探求其不可能性；用一種命題無法解決就考慮轉換成另一種等價的命題等等.總之，正確而又巧妙地運用逆向轉換的思維方法解數學題，常常能使人茅塞頓開，突破思維的定勢，使思維進入新的境界.
【例1】 將“解不等式x2-5x+6＜0”改為：
（1）不等式x2-ax-b＜0的解集是｛x｜2＜x＜3｝，求a、b的值；
（2）不等式x2-ax-b＜0的解集是｛x｜2＜x＜3｝，證明方程bx2-ax-2=0無實數根.
3.開放題變式教學
在學習上，有些問題需要我們改變常規的思路，多角度、多側面地去思考問題.任何成功的契機，都需要活躍的思維、機敏的感受，這樣才會有科學的頓悟.因此，在數學的教學中，注重開放題的設置，在教學中善于培養學生的思維靈活性是特別重要的.我們可以將一些典型的例題和開放性的實例進行適當的引申，一題多變或一題多解，激發學生獨立思考問題和發現新方法，拓寬學生的知識面，開拓學生的思維.
【例2】 證明：A(1，2)，B(2，4)，C(3，6)三點共線.
解決此問題可采用的方法有多種：
方法一：取兩點確立一條直線，求出該直線的解析式.代入第三點坐標，看是否滿足該解析式；
方法二：利用向量法證明：AB=λAC；
方法三：利用kAB=kAC，即可證三點共線；
方法四：證明其夾角為180°；
方法五：用梅涅勞斯定理；
方法六：運用公（定）理“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行（垂直）”，其實就是同方法一.
在課堂教學中，可以讓學生結合所學的知識，采用多種方法求解，以點帶面，拓展知識層面.
二、多猜想，培養思維的獨特性
在充分發揮教材的功能，對學生進行思維品質的培養時，特別需要創設一個可以讓學生去創造、去探索的環境，即創設一種科學探討的氛圍，這對于學生創造性思維訓練十分有利.
1．解題時的猜想
有些數學問題的結論未直接給出，而運用合理的猜想能較快地找到它的結論.在解決這類問題時，常先考慮特殊情況，猜想特殊情況的結論也就是一般情況的結論.
【例3】 在△ABC中，sinC=sinA+sinBcosA+cosB，試判斷三角形的形狀.
分析：先觀察所給等式的結構特征，發現A和B的地位相等，直覺上可以猜想C為直角.因而設法從等式中消去A、B，即可使問題獲得解決.
當題目難以入手時，通過觀察題目條件與結論之間的關系，作出合理的猜想，也能發現解題方向.
【例4】 已知函數f(x)對任意的實數x都滿足f（x+m）=1+f(x)1-f(x)(m≠0)，求證：f(x)為周期函數.
分析：該問題的具體表達式是未知的，但有一些熟悉的具體的周期函數，如tan(x+π4)=1+tanx1-tanx，而函數y=tanx的周期π恰為π4的4倍.由此猜想函數f(x)的周期T=4m.
2．在推廣中培養猜想能力
有些命題在把條件適當推廣后，其結論也可以做相應的推廣.教師應該從這些變化中引導學生去猜想.
【例5】 求證：正三角形內任一點到各邊距離之和是一個定值.
這道題學生處理起來不會很吃力，在證明了這一結論后，教師可引導學生將這一題目向縱向和橫向推廣.若將“正三角形”改為“正多邊形”，可得到如下猜想：
正多邊形內任一點到各邊距離之和是一個定值.
若將它再向立體推廣，又可得到：
正多面體內任一點到各個面的距離之和是一個定值.
可以證明，這兩個推廣的猜想都是正確的.
三、抓好歸納類比能力的培養，為猜想提供依據
由于獲得猜想的主要途徑是通過歸納和類比.因此，在教學設計中，抓好歸納和類比能力的培養就顯得十分重要.
1．歸納
新教材十分重視歸納思想方法的介紹，許多結論就是直接由歸納而得到的.如“函數的概念”中，就是由與函數的三種表示方法相對應的三個實際問題，在集合的基礎上研究兩個變量之間關系而歸納出函數的定義.這樣的設計不僅考慮到高中生的認知特點，更有助于對函數概念本質的理解.
在教學中，要根據教材的這些特點，有意識地啟發學生運用歸納的方法猜想出一般的結論.同時對于教材中直接采用“已知、求證、證明”的方式機械地傳授知識的題目，教師也應有意識地引導學生運用歸納的方法得出一般的結論，然后證明.
【例6】 已知x＞-1且x≠0，n∈N且n≥2，求證：(1+x)n＞1+nx.
教師在講解這道題時，可將它改為：
已知x＞-1且x≠0，n∈N且n≥2，試比較(1+x)n和1+nx大小.然后由學生對“x=1，n=2；x=2，n=3等”分別加以討論，從而歸納出(1+x)n＞1+nx，最后引導學生用數學歸納法證明.
2．類比
高中數學課程標準已明確將合情推理能力的培養作為課程的目標之一，而合情推理包括了類比推理和歸納推理.如伯努利提出的“自然數平方的倒數之和等于什么？”就是歐拉巧妙地通過類比猜想到1+14+19+…=π26之后10年才被歐拉自己證明是正確的.
在數學教材中有很多可提供類比的素材.如立體幾何中的一些定理與平面幾何中的有關定理相類比；等比數列與等差數列性質的類比；橢圓與圓的性質的類比等等.在教學中，要根據這些素材，有意識地引導學生運用類比的方法猜想出一般的結論.
【例7】 完成下列計算，根據計算結果探索規律.
1+3，1+3+5，1+3+5+7，1+3+5+7+9.
教學中，首先應讓學生自主探索：從上面這些算式中你能發現什么？讓學生經歷觀察（每個算式和結果的特點）、比較（不同算式之間的異同）、歸納（可能具有的規律）等過程.如果學生一時未能獨立發現其中規律，教師可以鼓勵學生互相合作交流，進一步探索，也可以提供一些幫助，如畫出如下的圖形，以使學生從數與形中探索出規律：
進而鼓勵學生繼續探索出：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.
必須指出的是，由歸納和類比猜測得到的結論是不可靠的，只有經過邏輯推理的方法證明才能肯定其真假性.實踐證明，在數學教學中滲透猜想可以開闊學生的思維空間，指明解題方向，通過使一些原來“山窮水盡”的題目轉為“柳暗花明”.
四、重視多學科的溝通，運用其他學科知識解決數學題
隨著新教材的實施和教學改革的不斷深入，作為工具性學科的數學將和其他學科的聯系更加緊密，所以數學知識的多角度應用將是我們需要研究的課題，在高中物理、生物、化學等習題中，有些也可以通過構建數學模型來解決問題，從而培養學生的跨學科的綜合能力.
【例8】 一對表現型正常的夫婦，生了一個白化色盲的兒子，則他們再生一個孩子患白化色盲的幾率為多少？
分析：據雙親及其所生兒子的表現型推知：母親基因型是AaXBXb，父親基因型是AaXBY，由此確定子女不患白化概率為34，子女不患色盲概率為34，由此可知，白化色盲在孩子中的發生率為916.
【例9】 我國土地面積約為9.6×106km2，大部分位于地球的北溫帶，求我國領土是北溫帶面積的百分之幾.
分析：解此題的關鍵是理解地理學中北溫帶的概念.由地理知識可知北溫帶是指地球上夾在北回歸線和北極圈之間的區域.因此，北溫帶的面積等于以北回歸線為底的球冠與以北極圈為底的球冠的面積之差.
在教學實踐中，學生創造能力的培養是多方位的，除了以上所談的有系統地進行培養外，還應經常鼓勵學生突破舊有相關知識的局限，要勇于提出“出人意料的解決辦法”，鼓勵學生“別出心裁—標新立異—異想天開”.只有師生共同努力，才能教學相益，才能更好地培養學生的創新思維能力.
參考文獻
［1］石志群，陳余根.課堂教學中培養學生創造能力的嘗試［J］.中學數學教學參考，2000（5）.
［2］冉龍彬.淺談數學教學中促進學生的思維活動［J］.數學教學通訊，2003（1）.
［3］趙紅莉.淺談數學教學中創新意識的培養［J］.教學交流—理論版，2009（6）.
［4］丘維聲.數學的思維方式與創新［M］.北京：北京大學出版社，2011.
（責任編輯 金鈴）
