相似三角形的基本圖形及其運用

相似三角形是初中幾何中的核心模塊，是中考中的重要考點，也是考查學生分析問題和解決問題的綜合能力的重要載體.相似三角形中有一些基本圖形，如果能掌握這些基本圖形，并把它們從復雜的圖形中挖掘出來，構成幾何問題中的核心結構，問題的解決也就水到渠成.首先我們來掃描一下相似三角形的基本圖形.

一、常規基本圖形

1.平行型此類型有兩種基本圖形：簡稱“A”型圖和“X”型圖.

【例1】 已知：如右圖，直線l的解析式為y=43x+4，l與x軸、y軸分別交于點A、B.

（1）求原點O到直線l的距離;

（2）有一個半徑為1的⊙C從坐標原點出發，以每秒1個單位長度的速度沿y軸正方向運動，設運動時間為t（秒），當⊙C與直線l相切時，求t的值.

解析：（1）過點O作OH⊥AB于點H，利用等積法可求出斜邊上的高OH，即原點O到直線l的距離為125.

(2)當⊙C與直線l相切時，點C到直線l的距離等于⊙C的半徑1，而點C的位置可能在點B的下方或上方，因此要分兩種情況進行討論:

①當點C的位置在點B的下方時，過點C作CG⊥AB于點G，則得到基本圖形1，利用△BCG∽△BOH，得到

BC4=1125，求出BC=53，再求出OC=73，由1·t=73就可求出t=73（秒）；②當點C′的位置在點B的上方時，過點C′作C′G′⊥直線l于點G′，則得到基本圖形2，利用△BC′G′∽△BOH，同①得到BC′=53，再求出OC′=173，求出t=173（秒）.

點評：此題中既用到了“A”型圖又用到了“X”型圖.從不同的視角分析圖形，找準切入點，也就成了解決問題的關鍵.

2.相交型

此類型也有兩種基本圖形：簡稱斜“A”型圖和斜“X”型圖.

如圖3，△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，若∠ADE=∠ACB（或∠AED=∠ABC），則△ADE∽△ACB.

特別地，當點E與點C重合時，又得到了如圖4所示的基本圖形.

如圖5，線段AD、BC相交于點E，連結AB、CD，若∠A=∠C（或∠B=∠D），則△ABE∽△CDE.



【例2】 已知：如右圖，矩形ABCD中，AC、BD交于點O，OF⊥AC于O交BA于點E，交CB的延長線于點F.求證:OA2=OE·OF.

解析：欲證OA2=OE·OF，可尋找這四條線段所在的兩個三角形，證出這兩個三角形相似即可.連結AF得基本圖形4，利用矩形的性質及OF⊥AC可證出∠1=∠2，又∠2+∠3=∠4+∠3=90°，所以∠4=∠2=∠1，所以△AOE∽△FOA，結論即可得證.

點評：由結論找到（或構造）要證的基本圖形，追根尋源，問題迎刃而解.

【例3】 已知：如右圖，在⊙O中弦AB、CD相交于點E，若AB=10，CD=12，且點E是AB的中點，則點E也是CD的中點嗎？為什么？

解析：由題意可知，圖中有基本圖形5（這是圓中常用到的基本圖形），利用△ACE∽△DBE得到

512-CE=CE5，求出CE=6-11，DE=6+11，因此得出點E不是CD的中點.

點評：回歸基本圖形，以算代證，快速解決問題.

3.雙垂直型（也稱母子相似三角形）

雙垂直型圖運用相當廣泛，結合勾股定理，圖中共有6條線段，只要已知其中的任意2條線段的長就可求出其余的4條線段來.

【例4】 已知：如右圖，C是半圓O上一點，AC=CE，過點C作直徑AB的垂線CP，P為垂足，弦AE分別交PC、CB于點D、F.

(1)求證：AC2=AD·AE；

(2)求證：AD=CD；

（3）若DF=54，DPAP=34，求PB的長.

解析：（1）欲證AC2=AD·AE，需證△ACD∽△AEC，而這正是一個特殊的斜“A”型圖，即基本圖形4，由條件證出∠ACD=∠B=∠AEC即可.

（2）由AC=CE可得AC=CE，從而∠CAD=∠AEC=∠ACD，結論得證.

（3）可證出AD=CD=54，由DPAP=34，可得DP=34，AP=1，CP=2，圖中有基本圖形6，利用

△CPA∽△BPC，得到12=2PB，從而求出PB=4.

點評：此題中既用到了特殊的斜“A”型圖又用到了雙垂直型圖，所以挖掘基本圖形對于解題很重要.

二、特殊基本圖形

1.和為平角型

如圖7，點E在BC上，若∠AED=∠B=∠C，則△ABE∽△ECD.這個基本圖形在幾何綜合圖形中經常出現.特別地，當∠AED=∠B=∠C=90°時，又得到了如圖8所示的基本圖形.



【例5】 已知：如右圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，點M是AD的中點，△MBC是等邊三角形.

（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）動點P、Q分別在線段BC和MC上運動，且∠MPQ=60°保持不變，設PC=x，MQ=y，求y與x的函數關系式；

（3）在（2）中當y取最小值時，判斷△PQC的形狀，并說明理由.

解析：（1）由條件可證△ABM≌△DCM，得到AB=DC，從而結論得證.

（2）圖中存在基本圖形7，利用△CPQ∽△BMP，得到

x4=4-y4-x，從而求得

y=14x2-x+4；（3）利用二次函數的最值可求出當x=2時，最小值y=3，證得△PQC為直角三角形.

點評：從復雜圖形中挖掘出特殊基本圖形的方法就是要熟悉這些特殊的基本圖形.

拓展延伸

如右圖，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H.若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數量關系，并說明理由.

解析：

（問題探究） k=1時，易證Rt△ABG≌Rt△EAP，得到AG=EP，

同理AG=FQ，所以EP=FQ.

（拓展延伸）

過點E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分別為P、Q，

則得到基本圖形8，利用△ABG∽△EAP，得到AGEP=ABEA，

同理AGEP=ACFA.

由AB=kAE，AC=kAF，得到ABEA=ACFA=k，從而EP=FQ.

再由∠EHP=∠FHQ，得到Rt△EPH≌Rt△FQH，所以HE=HF.

點評：此題一開始就將兩個全等的直角三角形拼成了貌似圖8的基本圖形，然后一步步去構造出了含有兩對此全等形的復雜圖形，最后真正演變成了相似三角形中兩個圖8這樣的基本圖形，萬變不離其宗.

2.和為直角型

【例6】 已知：如下圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=43AD，AC=3BC，CD=92，求四邊形ABCD的面積.

解析:因為∠BAD=90°，所以過點D作DE⊥AC于E，則得到基本圖形9，利用△ABC∽△DAE，得AEBC=DEAC=ADAB=34.設AE=3k，則BC=4k，AC=12k，CE=9k，DE=9k，因為CD=92，所以k=1，可求得四邊形ABCD的面積為12×12×4+12×12×9=78.

點評：以和為直角型圖形為依托，利用相似比例關系還原線段長度后定出面積大小.

由以上問題不難看出，識別并會利用相似三角形中的基本圖形對解決幾何問題是相當重要的.在解幾何題時用好幾何圖形中的基本圖形，可以有效解決問題并加深對問題本質的理解，從而達到提高解決綜合問題能力的目的，正如華羅庚先生所言：不斷積累，飛躍必來，突破隨之.

（責任編輯 金鈴）