構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

所謂構(gòu)造法，就是根據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論所具有的特征、性質(zhì)，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)模型，借助于該數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題的方法。

構(gòu)造需要以足夠的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，較強的觀察能力、綜合運用能力和創(chuàng)造能力為前提，根據(jù)題目的特征，對問題進行深入分析，找出“已知”與“所求（所證）”之間的聯(lián)系紐帶，使解題另辟蹊徑、水到渠成。

一、構(gòu)造輔助數(shù)與式

在解決某些數(shù)學(xué)問題時，利用矛盾對立統(tǒng)一性，可以充分揭示條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，探索構(gòu)造適宜的數(shù)與式，來架設(shè)解決問題的橋梁。

[例1]證明 N=???…﹤0.3。

[證明]本題若直接計算十分復(fù)雜，且方法不具一般性。根據(jù)題目中數(shù)的形似可以構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)：M=??…，

顯然 M×N=，

又N﹤M（因為﹤；﹤；…），

所以N2﹤N×M=，從而得N﹤=0.3。

二、構(gòu)造輔助函數(shù)

函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，學(xué)生們對于函數(shù)也很熟悉，選擇構(gòu)造函數(shù)這個學(xué)生很熟悉的模型來解決問題， 將會大大提高學(xué)生解決問題的能力。

由于一些代數(shù)式之間從形式上，本質(zhì)上的相同之處，這就啟示著我們在某些數(shù)學(xué)問題的研究過程中，可構(gòu)造類似的數(shù)學(xué)形式，運用構(gòu)造的數(shù)學(xué)形式的內(nèi)涵來解決問題。

[例2]求證：≤。

分析:拿到這道題，如果我們按常規(guī)的證明不等式的方法來做，我們應(yīng)該清楚用比較法，但是比較法對于這個題目相當困難，仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)不等式兩邊式子的形式相同，那么我們可以構(gòu)造一個更一般的函數(shù)形式:f(x)=，再利用函數(shù)的單調(diào)性問題就很容易解決了，免去了復(fù)雜的化簡過程。

[解] 構(gòu)造函數(shù)f(x)=，x∈[0，+∞）。

而函數(shù)f(x)=在定義域內(nèi)單調(diào)遞增（易證），

又∵|a+b|≤|a|+|b|， ∴f(|a+b|)≤f(|a|+|b|)，

即≤，命題得證。

注意：運用這種構(gòu)造，我們還可以證一般的情況:

≤

三、構(gòu)造輔助方程

方程作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它與代數(shù)式，函數(shù)，不等式等知識密切不可分。依據(jù)方程理論，能使許多的問題得以轉(zhuǎn)化從而得到解決，這對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)具有重要意義。

[例3] 求y=的值域。

分析:求函數(shù)的值域的方法很多，判別式法是常用的一種，它的理論依據(jù)是將y=f(x)化為關(guān)于x的二次方程，那么方程若有實根，判別式△≥0，由此可求得函數(shù)的值域。

[解] 將y=變形為關(guān)于x的方程（1-y）x2-(y+3)x+(1-y)=0

⑴當y≠1時，方程為關(guān)于x的二次方程，所以△=（y+3）2-4(1-y)2≥0，

解得-≤y≤5。

⑵當y=1時，x=0， 此時y∈[-，5]，

于是y=的值域為y∈[-，5]。

四、構(gòu)造輔助數(shù)列

在高中數(shù)學(xué)教材中，有很多已知等差數(shù)列的首項、公比或公差(或者通過計算可以求出數(shù)列的首項，公比)，來求數(shù)列的通項公式，但實際上有些數(shù)列并不是等差、等比數(shù)列，給出數(shù)列的首項和遞推公式，要求出數(shù)列的通項公式。而這些題目往往可以用構(gòu)造法，根據(jù)遞推公式構(gòu)造出一個新數(shù)列，從而間接地求出原數(shù)列的通項公式。對于不同的遞推公式，我們當然可以采用不同的方法構(gòu)造不同的類型的新數(shù)列。下面給出幾種我們常見的構(gòu)造新數(shù)列的方法。

1.利用倒數(shù)關(guān)系構(gòu)造數(shù)列。

[例4]列數(shù){an}中，若a1=2，=+4(n∈N)，求an。

[解]設(shè)bn=則bn+1=bn+4，即bn+1-bn＝４，

∴{bn}是等差數(shù)列。

可以通過等差數(shù)列的通項公式求出bn=4n-，然后再求數(shù)列{an}的通項。

2.構(gòu)造形如bn=an2，bn=1gan，bn=an+m的數(shù)列。

[例5]正數(shù)數(shù)列{an}中，若a1=5，an+12=an2-4(n∈N)，求an。

[解]設(shè)bn=an2，則bn+1=bn-4，即bn+1-bn=-4，

數(shù)列 {bn} 是等差列數(shù)，公差是-4，b1=a12=25，

∴bn=25+（n-1）?（-4）=29-4n，

即an2=29-4n，

∴an= （1≤n≤7，n∈N）。

五、構(gòu)造復(fù)數(shù)

由于復(fù)數(shù)具有代數(shù)，幾何，三角等多種表示形式，因此，復(fù)數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)中各部分知識聯(lián)系密切。根據(jù)題目特點，適當構(gòu)造出一個與題目等價的“復(fù)數(shù)模型”，利用復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及它的特定性質(zhì)與運算法則，常可巧妙地解決問題。

[例6] 已知cosx+cosy=a， sinx+siny=b，(a2+b2≠0)，求tan(x+y)的值（1990年文科高考題）。

[解] 設(shè)z1=cosx+isinx， z2=cosy+isiny，則

|z1|=|z2|=1，

又 z1+z2=（cosx+cosy）+i(sinx+siny)=a+ib，

則 z1 z2=cos(x+y)+isin(x+y)……①

利用 |z1|=|z2|=1

可得 z1+z2=z1 z2（z1+z2）=z1 z1（z1+z2）

因為a2+b2≠0，即a，b不全為0。

所以 z1 z2===+i……②

由式①，②得

cos(x+y)=， sin(x+y)=

即 tan(x+y)=。

（作者單位：廣東省惠州市第四中學(xué)）