追根溯源認(rèn)清數(shù)列的真面貌

數(shù)列問題在現(xiàn)有高考以及競賽中的出現(xiàn)比較頻繁，考慮到數(shù)列問題表象是考查一列數(shù)的變化，而其本身是一種特殊函數(shù)。數(shù)學(xué)知識點之間彼此存在著內(nèi)在的聯(lián)系，如果我們能準(zhǔn)確的抓住其聯(lián)系，往往能從多角度思考分析問題，能找到問題的根源。這里借助幾個問題來談?wù)勅绾螐暮瘮?shù)入手，充分利用函數(shù)有關(guān)知識，以它的概念、圖象、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁，揭示它們間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地分解數(shù)列問題。

一、利用函數(shù)特征處理數(shù)列問題

從等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和其前項和公式很容易發(fā)現(xiàn)它們與一次函數(shù)，二次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，則我們總可以利用這些函數(shù)的相關(guān)概念來分析處理問題：

例1 在等差數(shù)列中，前n項和為Sn，已知S2=12，S4=44，求Sn．。

分析：本題的常規(guī)解法是用等差數(shù)列求和公式Sn=na1+ d列出關(guān)于a1和d的方程組，解出a1和q。若考慮到等差數(shù)列的前n項和Sn= n2+(a1- )n=An2+Bn，則可以考慮Sn=An2+Bn設(shè)來求解，從而優(yōu)化了解題過程。

解：設(shè)Sn=An2-Bn，則 S2=4A+2B=14S4=16A+4B=44 可以求出A=2，B=3，所以Sn=2n2+3n。

例2 在等比數(shù)列中，前n項和為Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn．。

分析：本題的常規(guī)解法是用等比數(shù)列求和公式Sn= 列出關(guān)于a1和q的方程組，解出a1和q，但計算十分繁瑣。若考慮到等比數(shù)列的前n項和Sn= - qn，設(shè)A=- ，則可以考慮設(shè)Sn=Aqn-A（A為待定系數(shù)），從而優(yōu)化了解題過程。

解：設(shè)Sn=Aqn-A，則S2=Aq2-A=3S4=Aq4-A=15可以求出A=1，q=±2，所以Sn=2n-1或Sn=(-2)n-1。

評述：上述兩題充分利用等差（比）數(shù)列前n項和公式本身所具有的函數(shù)特征，則可以用待定系數(shù)法直接加以處理，不走彎路。

二、利用函數(shù)單調(diào)性處理數(shù)列問題

例3 已知數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，bn= 。

（1）若a1=- ，求數(shù)列bn中的最大項和最小項的值；

（2）若對任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范圍。

分析：對第一問最大、最小是函數(shù)的一個特征，一般來說，研究函數(shù)的最大值或最小值可以從研究函數(shù)的單調(diào)性入手，而數(shù)列an是定義在N*上的一個特殊的函數(shù)，既然數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，當(dāng)然用來研究函數(shù)最大值或最小值的方法同樣適用于研究數(shù)列的最大項或最小項。對第二問由于對任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本題實際上就是求數(shù)列bn中的最大項。

解：(1)由題意，得an=n- ，所以bn= ，

因為bn= =1+ ，考察函數(shù)f(x)=1+ ，

當(dāng)x∈（-∞， ）時，f（x）為減函數(shù)，且f（x）＜1，

當(dāng)x∈（ ，+∞）時，f（x）為減函數(shù)，且f（x）＞1。

又n∈N*則比較可得數(shù)列bn的最大項為b4=3，最小項為b3=-1。

(2)由題，得an=n-1+a1，所以bn=1+ 。

考察函數(shù)f(x)=1+ ，

當(dāng)x∈（-∞，1-a1）時，f(x)為減函數(shù)，且f（x）＜1，

當(dāng)x∈（1-a1，+∞）時，f(x)為減函數(shù)，且f（x）＞1。

所以f(x)=1+ 的圖象如右圖所示，

所以要使b8是最大項，當(dāng)且僅當(dāng)7＜1-a1＜8，

所以a1的取值范圍是-7＜a1＜-6。

三、利用函數(shù)對稱性處理數(shù)列問題

例4 等差數(shù)列an中，a1＞0，前n項和為Sn，且S9＞0，S10＜0，則n為何值時，Sn最大。

分析：等差數(shù)列前n項和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，常數(shù)項為0，因此函數(shù)的圖象是過原點的拋物線上橫坐標(biāo)為自然數(shù)的點。由題意可知該數(shù)列公差小于0。

如右對應(yīng)的拋物線，所以開口向下，與橫軸的一個交點的橫坐標(biāo)為0，另一個交點的橫坐標(biāo)在區(qū)間（9，10）內(nèi)，可見其頂點橫坐標(biāo)在區(qū)間（4.5，5）內(nèi)，故當(dāng)n=5時，Sn最大。

評述：本題的一般解法是利用S9= =9a5＞0，S10= =5（a5+a6）＞0，得a1＞a2……a5＜0＞a6＞a7＞……故當(dāng)n=5時，Sn最大。

由此可見利用函數(shù)圖象，解法直觀，一目了然。

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的非常重要的知識，教學(xué)中它是個主線貫徹了高中各個知識，從上面幾道例題可以看出如果我們抓住數(shù)列的本身函數(shù)特征，利用函數(shù)知識去處理相關(guān)問題，這樣可以幫助學(xué)生認(rèn)識其本質(zhì)，通過數(shù)列與函數(shù)知識的相互交匯，使學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)得以不斷優(yōu)化與完善，同時也使學(xué)生的思維能力得以不斷發(fā)展與提高。

（作者單位：江蘇省揚州市江都區(qū)丁溝中學(xué)）