與球有關的考查分類探析

《球》一節在教材（人教版高中數學第二冊下A）中位于立體幾何的最后一個內容，參考課時是立體幾何中安排課時最多的內容之一，在高考中也是常考的一個內容（從2005年到2010年的全國卷中每年都有一題，5分）。可見《球》在立體幾何中的重要地位。下面就與球有關的考查方向進行分類，以期能對同學們在學習或復習《球》這節內容時有所幫助。

1.對球截面性質的考查

例1 [2009年全國卷I 文(15) ] 已知如圖1，OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球得到圓M，若圓M的面積為3π，則球O的表面積等于 。

【解析】 圓M的面積為3π，設其半徑為r，則r= ，設球的半徑為R，由球截面的性質得R =（ ） +（ ） ，所以R=2，因此球的表面積為16π。

點評：掌握球截面的性質是解題的關鍵。

2.對球的性質的考查

例2 連接球面上兩點的線段稱為球的弦，半徑為5的球上有兩條弦AB、CD的長度分別等于8、2 ，M、N為弦AB、CD的中點，每條弦的兩個端點都在球面上運動，求MN的最小(大)值。

【解析】 因為A、B、C、D在球面上運動，要使MN最短，則MN為AB、CD的公垂線段，所以可以將AB、CD移動到它們所在的截面平行且這兩個平面與同一直徑垂直，這樣MN的長就是這兩個平行平面間的距離。由球截面的性質可得MNmin=1，同理可得MNmax=5。

點評：球是一個旋轉體，因此它既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，結合運動的觀點就可以解決此題。

3.對球面距離的考查

例3 已知如圖2，在地球東經120°線上有A、B兩地，A在北緯70°，B在北緯40°，則A、B兩地的球面距離（地球半徑為R）為（ ）

A. B. R C. D.

【解析】 過地軸和東經120°線作一大圓，由圓的知識和緯度定義知∠AOB=AB的度數等于30°即 。由弧長公式可得A、B兩地的球面距為 ，故選D。

點評：與球面距離有關的題目關鍵要理解球面距離的定義和計算方法。

【練習】已知球的表面積為4π，A、B、C三點都在球面上且任意兩點間的球面距為 ，求OA與平面ABC所成的角的正切值。

4.球外接于多面體

例4 [2006年全國卷I文 (9) ] 已知各個頂點都在球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是 （ ）

A.16π B.20π C.24π D.32π

【解析】已知如圖3由正四棱柱的體積可得其底面邊長2，又球的直徑等于正四棱柱的對角線，設球的半徑為R，則（2R）2=4 +2 +2 =24，則R2=6，所以球的表面積為24π，故選C。

點評：本題源于課本P77第6題，是它的拓展。

【練習】設三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，且側棱長均為2 ，求其外接球的表面積。

5.球內切于多面體

例5 在棱長為a的正方體內有一個內切球，過正方體中兩條互為異面直線的棱的中點作直線，求該直線被球面截在球內的線段長為 。

【解析】已知如圖4由球與正方體的性質知，球心O為正方體的對角線的交點，球與下底面的切點為下底面的中心M，E、F、R分別是B1C1、AB、BC的中點，OM=MR= a，OE=OF=FR= a，ER=a，EF= = a；由過EF與球心O作球截面，如圖5，設圓O與EF相交于點G、H，則GH為所求。過O作OI垂直于EF，垂足為I則IF= = a，所以OI= = a，HI= = a，GH=2HI= a。

點評：關于球與多面體的相切的問題，作出軸截面是解題的關鍵。通過截面把幾何體中的主要元素盡可能集中于其中，從而把立體幾何問題轉化為平面幾何問題解決。

（作者單位：廣西天峨縣高級中學）