淺入深出 深入淺出

蘇教版小學數(shù)學六年級上冊安排“表面積的變化”內(nèi)容，主要是研究幾個相同的正方體（或長方體）拼起來，得到的長方體與原來幾個正方體（長方體）表面積之和的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并理解其中的變化規(guī)律，培養(yǎng)空間觀念。教材分為兩個大的版塊：拼拼算算和拼拼說說。拼拼算算中三個活動，三個活動都是通過學生動手操作、觀察、直觀思考、合作交流等活動，讓學生體驗并發(fā)現(xiàn)物體拼擺過程中表面積的變化規(guī)律，提高空間觀念的積累水平，發(fā)展數(shù)學思考。拼拼說說，主要是引導學生應用前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決實際問題。

一、案例描述

鏡頭一：在操作中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：12個正方體你能拼成怎樣的長方體？

學生通過動手操作拼出以下不同的長方體：

師：那這些長方體的表面積究竟有什么變化？它們的變化有沒有規(guī)律呢？讓我們一起先來研究“一”型的擺法。

師：如果要發(fā)現(xiàn)12個、13個……小正方體拼成這樣“一”字型形的長方體后表面積的變化規(guī)律，你會從哪里入手研究呢？（引導學生復雜問題從簡單問題想起，也就是從2個小正方體拼成入手）

教師出示2個正方體，并將2個正方體拼在一起。

師：將2個正方體拼成1個長方體后表面積有什么變化？

生■：長方體的表面積比2個正方體表面積的和少2平方厘米。

生■：拼成長方體后，表面積減少了原來兩個面的面積。

師：（出示表格）用2個正方體拼成1個長方體，原來一共有12個面，正方體重合拼1次，拼成后減少了原來2個正方形的面（表格中填寫：2，1，12，2）。

師：如果要將3個一樣的正方體拼成一個長方體，要拼幾次，減少幾個面？用4個、5個正方體去拼呢，又會發(fā)生怎樣的變化？

（學生小組合作探究，完成操作匯報單）

師：（教師追問）將12個正方體拼成一個長方體，要拼幾次，減少幾個面？用100個呢？n個呢？

師：要知道，這些正方體拼成“一”字形長方體的表面積減少了原來幾個面，關(guān)鍵是什么？

師：在剛才拼的過程中，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生■：體積不變，表面積變了，按上面的拼法，每拼一次減少2個面的面積。

生■：按上面的拼法，增加一個正方體，就減少2個正方形面的面積。

生■：減少的正方形面的個數(shù)=拼的次數(shù)×2。

生■：減少的正方形面的個數(shù)=（正方體的個數(shù)—1）×2。

……

【設(shè)計意圖】12個正方體可以拼成4種不同的長方體，這些長方體表面積的變化都不一樣，但是它們的變化都存在一定的規(guī)律，教師沒有讓學生直接研究這個復雜的問題，而是先拋出簡單問題，從“一”字形的擺法開始研究，這樣有效降低了學習的難度，再引導學生用3個、4個甚至更多個相同的正方體拼成長方體，探索拼成后的長方體的表面積變化規(guī)律。

鏡頭二：在爭論中體驗規(guī)律。

師：用12個相同的正方體拼成4個不同的長方體，猜一猜哪個長方體的表面積最小，哪個長方體的表面積最大。

學生的討論異常熱烈，并很快發(fā)現(xiàn)拼成“一”字形，表面積最大，但對表面積最小的拼法表述卻各不一樣的，有的認為是②號，有的認為是③號，還有的認為是④號。

師：出現(xiàn)不同的意見，說明大家都在思考，那到底是哪個表面積最小呢？

生■：表面積最小，就要盡可能地多擺幾層。（大部分學生也同意該生的意見。）

生■：那么把圖中的第二種拼法豎起來，就變成共有6層，你能說它的表面積比三層（第四種拼法）的長方體表面積小嗎？

生■補充：這種不能算真正的6層，如果把它推倒，只能算是一層2排，沒有右邊的長方體的層數(shù)高。

師：那你們的意思應該怎樣表述更為準確呢？

生■：擺成的長方體的長、寬、高都最好不要是1。

學生普遍同意生■的意見，認為這樣的表述更加準確。

生■：我有更好的判斷，看面被藏起來的多，拼起來的表面積就小。

師：這個想法有意思，說說你是怎么想？

生：因為藏起來的面多，那剩余的面就少，所以表面積就越小。

生■：（一個平時少言少語的學生）把每個長方體的表面積算出來，比一比不是就知道嗎？（多么直截了當?shù)南敕ǎ蠹以谒膯l(fā)下，算出了結(jié)果，得知④號長方體的表面積最小）

師：大家不妨再來仔細觀察剛才這三種拼法，那個表面積最小的長方體的拼法，它們在形狀上有什么特征？

生■：我認為盡可能地把它們拼成近似于正方體的形狀。

師：你的發(fā)現(xiàn)太深刻了，但老師還有一個問題，什么樣的長方體才叫盡可能地接近正方體呢？

學生的思維產(chǎn)生了碰撞，最終大家都把意見集中在拼成的長方體的長、寬、高要盡可能地接近。

學生在對話中發(fā)現(xiàn)了以下規(guī)律：

1. 從減少面上來看，拼掉的面越多、越大，圖形的表面積越小。

2. 從形狀上來看，越接近正方體，圖形的表面積也就越小。

3. 從長寬高上來看，長寬高越接近，圖形的表面積也就越小。

【設(shè)計意圖】這個活動過程從“一”字形擺法的探究過渡到其他擺法的探究，通過“猜一猜”“算一算”“比一比”“說一說”等一系列的活動，學生在學習過程中通過觀察思考、合作交流、計算驗證等活動，體驗并發(fā)現(xiàn)物體拼擺過程中表面積的變化規(guī)律，提高空間觀念的積累水平，引發(fā)對數(shù)學問題的思考。

二、案例解析

1. 發(fā)現(xiàn)規(guī)律時——淺入深出。

數(shù)學的學習過程不是讓學生被動地吸收教材和教師給出的現(xiàn)成結(jié)論，而是由學生親自參與。本節(jié)課，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律中，教師從2個正方體開始研究，再引導學生用3個、4個甚至更多個相同的正方體拼成長方體，這種有意識地把學生的目光從簡單的填寫引導到規(guī)律的發(fā)現(xiàn)是 “淺入”。當教師追問：將12個正方體拼成一個長方體，要拼幾次，減少幾個面？用100個呢？n個呢？學生這時已經(jīng)無法再操作驗證，從而使學生完全把關(guān)注點落到尋找規(guī)律上。最后，學生通過觀察表格的數(shù)據(jù)，合作交流，從中找出規(guī)律，這是“深出”。整個探究活動，學生從易到難，積極參與，討論交流，讓規(guī)律成為每一位學生的發(fā)現(xiàn)，讓每個學生的空間觀念得到一定的發(fā)展。

2. 體驗規(guī)律時——深入淺出。

教師創(chuàng)造性地使用教材，沒有按教材安排先研究用6個體積是1立方厘米的正方體可以拼成幾種不同的長方體， 而是直接讓學生質(zhì)疑反思：（課始，12個小正方體拼4個長方體的圖形）前面用同樣12個正方體拼成的長方體，為什么它們表面積會發(fā)生變化？猜一猜：哪個長方體表面積最大？哪個長方體表面積最小？讓學生觀察以上4種不同拼法的長方體的形狀，“深入”去探究規(guī)律。在這一環(huán)節(jié)中，當學生出現(xiàn)了矛盾時，教師沒有出現(xiàn)評判，只是在當中穿針引線，有的學生是數(shù)隱藏的面，隱藏的面越多說明剩余的面積越小；有的學生干脆算表面積；還有的學生通過觀察發(fā)現(xiàn)長寬高越接近，圖形的表面積也就越小等。隨著爭論慢慢地消失，學生們的問題也就解決了，“藏”在當中的規(guī)律也就“淺出”了。

（作者單位：福建省福安師范附屬小學 本專輯責任編輯：王彬）