防“亡羊補牢”，先“曲突徙薪”

多年教學實踐證明，六年級學生對有關分數的計算正確率很高。一方面，四年級的整數四則混合運算、五年級的小數四則混合運算是學生的已有學習經驗，而小數與整數計算的運算律和運算規律在分數領域同樣適用。學生能夠把已有知識經驗順利遷移到分數計算中。另一方面，分數計算可以在計算過程中約分，且分子分母數目都不太大，即使數目很大，也可以通過運算技巧“瘦身”，化繁為簡。但最近兩年，學生有關分數的計算狀況不容樂觀，錯例花樣百出，不得不引起筆者的思考。在研究學生錯例中，我努力與學生對話，尋找錯因，分析歸類。分數四則混合運算常有如下五大類型錯誤。

1. 約分后遺癥（約不清、漏數）。

分數計算中，最常見的是約分導致錯誤結果。有的結果沒約成最簡分數或整數（如圖1所示）；有的約分沒結束，最后結果不是最簡分數（如圖2所示）；還有的學生約分后相乘時漏看數，或看錯符號（如圖3～5所示）。這些錯誤都是約分引起的錯誤，我們姑且稱這樣的計算錯誤叫“約分后遺癥”。

這些錯誤不容小覷，從錯誤中可以讀出學生的學習情感欠專注，書寫缺乏耐心。

2. 草木皆是兵（加減全來乘）。

有部分學生，知道乘法的計算方法，但在計算過程中，算著算著，就云里霧里的，把加減法當乘法計算，從而在計算過程中進行約分，導致結果錯誤。

■-■÷■+■=■-■×■+■=■-■+■=■

-■+■=■

3. 亂點鴛鴦譜（按自己的“法則”算）。

六年級學生把整數、小數中的運算律和運算性質直接遷移到六年級的分數計算中，本應是很簡單的事情，但學生出現的下列錯誤，真讓人大跌眼鏡，足以暴露出知識點間的交接存在遺漏。看這些學生的思考與做法。

有少數學生，在頭腦中形成的知識結構中，沒有建立乘法分配律的數學模型，只是主觀臆斷，看哪幾個數湊起來好算，無視算法與算理，按自己的意愿硬湊到一起。

4. 算理沒弄明（無視運算順序）。

有位學生計算■+■×■時，很快算出結果是■。

師：你是怎樣計算的？

生：因為■+■=1，所以先算■+■=1，再算1×■=■。

師：這道算式有加法和乘法，你覺得先算哪一步？

生：乘法！

師：那為什么你先算加法了？

生：因為正好得1，就當成乘法分配律算了

師：這題應怎么變化一下，就可以用乘法分配律計算了？

生：當算式是“■×■+■×■”時，才可以用乘法分配律。

類似的例子還有很多，如下：

5. 口算基礎差。

還有少部分人，對簡單的分數計算問題，明明可以唾手成功，但卻在非常簡單的口算中出錯，例如：21-21×（■-■）=21-21×■=21-3=19。

縱觀上述列舉的問題，分析學生的個體因素，可歸納為三大原因：能力問題——不會算；態度問題——不想算；精確問題——算不準。此三大原因又可以合并成一個問題，即運算能力的培養。《義務教育數學課程標準（2011）》（以下簡稱《課程標準》）明確提出了應該培養的學習習慣是認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑。如何讓計算問題來個華麗轉身？這是我們一線數學教師翹首以盼的答案。筆者從分析中采取了一些措施，作了一些嘗試，收到了非常明顯的效果，期待與大家進一步分享與商榷。

1. 積累計算經驗，引導“推理”與“遷移”。

從計算現狀看，學生的知識鏈斷鏈嚴重，身為六年級的數學教師，就要采取補救措施。特別是對“加法交換律a+b=b+a” “加法結合律（a+b）+c=a+（b+c）”“乘法交換律a×b=b×a”“乘法結合律（a×b）×c=a×（b×c）”“乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c”“減法基本性質a-b-c=a-（b+c）”“商不變規律a÷b=（a÷c）÷（b÷c）或a÷b=（a×c）÷（b×c）（b，c≠0）”“積不變規律a×b=（a×c）×（b÷c）（c≠0）”等系統地比較和梳理，在腦中構建算理算法。一竅通，百竅同，算理掌握牢了，才能保證整數、分數、小數等計算的正確性。在四、五、六年級的交接中，教師要清楚教材的編寫系統，了解學生的認知結構，恰當引導推理，讓整數計算方法作為基本的學習經驗，推理出小數的計算方法；到六年級，再把整數與小數的算理算法作為基本的學習經驗，遷移到分數的計算學習中，從而形成良性循環。這是“曲突徙薪”的第一步。

2.強化學習數感，培養“會算”與“算對”。

“算什么？”“怎么算？”“為什么？”這是計算教學面臨的三大問題。張丹教授指出：運算能力首先是會算和算正確，而會算不是死記硬背，要理解運算的道理，還要尋求合理簡潔的運算途徑解決問題等。如此看來，制定切實可行的訓練計劃是必不可少的。正因為教學中缺乏對計算知識的理解和訓練，才造成計算能力普遍下降。掌握了算理算法后，進行定期的訓練是必不可少的。所以，每節課的課前五分鐘，要進行簡單的口算、簡算、估算等訓練，每天晚上布置10道計算題，可以是四則混合運算、連乘、連除、簡算等，其中包括方程的訓練。還可以把典型的計算題形成題庫發到學生手中，每天請家長配合訓練檢查其中10道。這樣在練習中就能有意識地培養學生的數感。《課程標準》給數感賦予了更深的內涵，指出對數的感悟包括三個方面：數與數量、數量關系以及運算結果的估計。因此，應把數感培養放在教學的首要地位。“會算”關注了學生的學習過程，“算對”關注了學習的結果，讓學習過程與學習結果并重，才是優質學習的保障。這是“曲突徙薪”的第二步。

3. 堅持積極評價，促進“速算”與“優算”。

速算與優算是我們計算教學的追求和目標。訓練時，我們要做好定性評價與定量評價相結合，如開展班級內、年級間的“計算小能手”比賽，以賽帶學，以賽促練；在批改作業時，盡量面批，多靜下心來聽聽學生是怎么想的，這是對學生的一種尊重，也是尋找錯因的最好途徑；堅持激勵性評語，“你的方法真好，能與大家分享一下嗎？”“恭喜你全對，如果能再快一些就更棒了！”讓學生充滿學習的自信， 有目標、有興趣、有動力。這是“曲突徙薪”的第三步。

計算能力提高了，數學學習頗有“提領而頓，百毛皆順”之感。故想到補救“亡羊補牢”之計——“曲突徙薪”。

（作者單位：江蘇省淮安市新民路小學）