由一道錯(cuò)誤的簡算題引發(fā)的思考

在小學(xué)六年級數(shù)學(xué)的計(jì)算題中， 只要我們留意就會看到一個(gè)奇怪而又普遍的錯(cuò)誤現(xiàn)象——因大多數(shù)學(xué)生受乘法結(jié)合律的影響而誤用“乘法分配律”， 并且在不同班級、不同學(xué)校、 不同年代的小學(xué)生中出現(xiàn)的錯(cuò)誤現(xiàn)象幾乎是一樣的。例如： 12×（■+■）×20=12×■+■×20=5+1=6。這類錯(cuò)誤既然如此常見而又能跨越時(shí)空， 必然有其深層次的原因。為此，我針對上述錯(cuò)誤情況在高年級學(xué)生中進(jìn)行了問卷調(diào)查和個(gè)別訪談，分析錯(cuò)因。

一、測試訪談情況

我把“12×（■+■）×20”這道題在六年級學(xué)生還未進(jìn)入畢業(yè)總復(fù)習(xí)前進(jìn)行測試，可測試結(jié)果還是出乎所料。在一個(gè)班52名學(xué)生中有6人答案正確，其中只有1人正確地應(yīng)用了乘法分配律簡算方法，即12×（■+■）×20=12×■×20+ 12×■×20=100+12=112，還有3人想到應(yīng)用乘法分配律來簡算，可是只把括號外的一個(gè)數(shù)分別與括號內(nèi)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)先相乘，再與括號外的另一個(gè)數(shù)相乘，即12×（■+■）×20=（12×■+12×■）×20=■×20=112，另外2人沒用簡算，而是先把括號里的■+■通分合并變成一個(gè)數(shù)■后，再與括號外的兩個(gè)數(shù)相乘，即12×■×20=112。在測試中12×（■+■）×20=12×■+■×20=5+1=6這樣誤用“乘法結(jié)合律”來簡算的學(xué)生有39人，占全班人數(shù)的75%。上述簡算錯(cuò)誤的學(xué)生說：“我們只看到題目中括號內(nèi)兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母正好與括號外兩個(gè)整數(shù)成倍數(shù)關(guān)系能直接約分，至于括號內(nèi)兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加（應(yīng)用乘法分配律），括號內(nèi)兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘（應(yīng)用乘法結(jié)合律）就沒有注意了。 ”但還有7人錯(cuò)用乘法分配律來簡算，把括號外的兩個(gè)數(shù)都分別與括號內(nèi)兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘而造成計(jì)算錯(cuò)誤，即12×（■+■）×20=12×■+12×■+20×■+20×■。

二、錯(cuò)誤原因分析

1. 學(xué)生受乘法結(jié)合律運(yùn)算的負(fù)遷移影響。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材是按學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律編寫的，從整數(shù)乘法交換律、結(jié)合律、分配律拓展到小數(shù)，再延伸到分?jǐn)?shù)。這些“乘法運(yùn)算定律”在分?jǐn)?shù)的四則混合運(yùn)算過程中要讓學(xué)生分辨并靈活運(yùn)用是有困難的。從調(diào)查中，我了解到多數(shù)學(xué)生受乘法結(jié)合律的影響，看到算式12×（■+■）×20中括號內(nèi)兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母與括號外兩個(gè)整數(shù)相同就直接去約分了，對于括號內(nèi)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)是相加還是相乘就沒有注意了，這樣就造成誤用了“乘法分配律”。計(jì)算錯(cuò)誤原因有：①學(xué)生對定律理解不透徹。學(xué)生在中年級對乘法結(jié)合律“三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再和第三個(gè)數(shù)相乘；或先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再和第一個(gè)數(shù)相乘，積不變。”這一定律中的“三個(gè)數(shù)”與乘法分配律中的“三個(gè)數(shù)”，究竟是怎樣運(yùn)算才簡便而混淆了。因此，教師必須講清算理，舉些實(shí)例讓學(xué)生真正理解并加以辨別達(dá)到合理靈活的運(yùn)算。②學(xué)生對計(jì)算審題不認(rèn)真：教學(xué)時(shí)教師在講清算理的同時(shí)，更要強(qiáng)調(diào)學(xué)生在計(jì)算前必須注意審題——不僅要觀察題目中的數(shù)據(jù)情況，還要注意看題中的運(yùn)算符號。能運(yùn)用乘法結(jié)合律的算式一定是幾個(gè)數(shù)連乘的，而能運(yùn)用乘法分配律的算式中一定是括號內(nèi)的幾個(gè)分?jǐn)?shù)是相加或相減。為了避免學(xué)生出現(xiàn)上述12×（■+■）×20=12×■+■×20=5+1=6的錯(cuò)誤，關(guān)鍵的問題是要看清楚括號內(nèi)的幾個(gè)分?jǐn)?shù)是相加（減），還是相乘，這樣就可確定是選用哪個(gè)運(yùn)算定律。為防止和糾正上述錯(cuò)誤出現(xiàn)， 教師在教學(xué)中除了講清算理外還得出一些對比性練習(xí)。如： 25×4+8×125與25×4×8×125，12×■+■×20與12×■×■×20，12×20×（■×■）與12×20×（■+■），12×（■×■）×20與12×（■+■）×20等辨析題來幫助學(xué)生分辨理清。

2. 學(xué)生受乘法分配律運(yùn)算的思維定勢影響。

學(xué)生從中年級開始學(xué)習(xí)了“乘法分配律”后，就一直伴隨到高年級，這一運(yùn)算定律在“整數(shù)—小數(shù)—分?jǐn)?shù)”四則混合運(yùn)算的學(xué)習(xí)中不斷出現(xiàn)而被廣泛應(yīng)用。當(dāng)學(xué)生剛開始接觸“乘法分配律”時(shí)，教材中只出現(xiàn)類似（a+b）×c=ac+bc或c×（a-b）=ac-bc，在整數(shù)范圍內(nèi)的應(yīng)用，此時(shí)學(xué)生用得得心應(yīng)手，不會出現(xiàn)錯(cuò)誤，只見過上述“兩個(gè)數(shù)的和（差）同一個(gè)數(shù)相乘，等于把兩個(gè)數(shù)分別同這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)積加（減）起來，結(jié)果不變”。這同時(shí)也就在學(xué)生頭腦中留下了根深蒂固的印象。當(dāng)“乘法分配律”推廣拓展到高年級分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算時(shí)題型不再是那么“規(guī)矩”，在乘法分配律的簡算題中有時(shí)括號外不只是一個(gè)數(shù)而是與幾個(gè)數(shù)相乘了。這時(shí)學(xué)生更加關(guān)注的是“約分”，對類似“a×（■+■）×c” 題型，學(xué)生借助乘法分配律的慣性思維自然而然地遷移出“12×（■+■）×20=12×■+■×20=5+1=6”。至于為什么“括號內(nèi)兩個(gè)數(shù)的和（差）同括號外的幾個(gè)數(shù)都要分別相乘？”中年級教材尚未見過此題型。這就增加了學(xué)生根據(jù)a×（b+c）=ab+ac遷移出a×（■+■）×b = a×■+ ■×b可能性。

要防止學(xué)生出現(xiàn)這類常見錯(cuò)誤，有效的辦法就是引導(dǎo)學(xué)生弄清乘法分配律的意義和運(yùn)算法則，及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并糾正，不讓這類錯(cuò)誤算法在學(xué)生的頭腦里生根發(fā)芽。由此可見，教師在講清乘法分配律應(yīng)用時(shí)要注意“括號內(nèi)幾個(gè)數(shù)的和與差，同時(shí)分別去乘括號外的幾個(gè)數(shù)（把括號外相乘的這幾個(gè)數(shù)可看作一個(gè)數(shù)）”的基礎(chǔ)上同時(shí)補(bǔ)充類似的對比練習(xí)。如：（a+b）×c與（■+■）×c，（■+■）×a與（■+■）×a×b，a×b×（■+■）與a×（■+■）×b ，a×（■+■）×b與a×（■+■）×b。同對比練習(xí)使學(xué)生對與乘法分配律結(jié)構(gòu)相近的運(yùn)算進(jìn)行辨析，并獲得深刻體驗(yàn)。這種對比練習(xí)，最好在學(xué)生問題發(fā)生之前。因?yàn)樾W(xué)生有個(gè)特點(diǎn)，即遇事容易“先入為主”， 一個(gè)錯(cuò)誤的算法一旦在他們頭腦里產(chǎn)生思維定勢后就很難糾正過來。

（作者單位：福建省建甌市實(shí)驗(yàn)小學(xué)）