《黃河清“問題導學”教學法》探究課教學課例評析
2012-04-29 00:00:00李春陽黃河清
中學教學參考·理科版 2012年2期
學習數學的最終目的，就是數學的運用與創新，而這一切，都離不開探索，因為沒有了探索，數學就失去了靈魂.“黃河清‘問題導學’教學法”探究課教學模式，將教學過程結構分為四個環節：問題引入—通法探究—另辟蹊徑—總結歸納.他認為：對教師而言，探究課的主要任務，就是培養興趣、指導方法、鼓勵質疑、鼓勵創新；對學生而言，探究課的目的就是學習探索的方法、策略，激發自己的創造欲望，拓展自己思維的空間，提高求知能力.
下面以黃河清老師“一道習題的解法探究”一節課的教學為例，就“四環節”的實施進行簡要的解讀.（注：教學過程有刪減）.
［課例］
一、問題引入
題目：在橢圓x245+y220=1
上，求一點P，使它與兩焦點的連線互相垂直（人教版高二數學（上））.
師：同學們，這是課本中一道非常好的習題.說它“好”，一是從思維的角度看，它有很多切入點去求解；二是通過對其解法的探究、歸納、總結和拓展，我們能對圓錐曲線的性質及一般解題方法和規律理解得更深刻.
問題1：你能想出盡可能多的方法來解答這個問題嗎？
二、通法探究
（引導學生思考、解題.共得出了以下六種解法，分別請學生口述，教師板書）
問題2：你能歸納出每一種解法各有什么特點嗎？
（引導學生分析回答，教師評說）
解法1特點：在解析幾何中，兩直線垂直通常用斜率乘積等于-1來表示.
解法2特點：運用交軌法，P點是橢圓上的動點，當PF1⊥PF2時，可以把它看成是在以｜F1F2｜為直徑的圓周上運動，把它看成是兩條曲線的交點，就可以求點P的坐標了.
解法3特點：構造向量，用兩個向量的數量積等于0來解決.
解法4特點：在Rt△F1PF2中，因為斜邊｜F1F2｜已知，如果兩條直角邊｜PF1、｜PF2｜能用P點坐標表示，那么利用勾股定理就可以解決了.而表示｜PF1｜、｜PF2｜用焦半徑公式就很簡單.
解法5特點：在Rt△F1PF2中，由于P點在橢圓上，所以P點坐標可以用橢圓的參數方程來表示.這樣減少了未知數的個數，用勾股定理建立方程就可以了.
解法6特點：用面積法，因為三角形F1PF2的面積可用兩種方法表示：S=12｜PF1｜｜PF2｜和S=12｜F1F2｜#8226;｜yP｜，建立方程也可以求解.
問題3：請同學們自我對照評價一下，以上哪種解法更符合你的思維習慣？哪一種解法你覺得比較難發現思路？
生1：解法1比較容易想到，因為在解析幾何中，垂直關系通常用斜率表示；解法3也可以想到；解法2如果在圓這節內容中沒學過的話，一時也不容易想到.
生2：因為求點的坐標實際上是求未知數x、y，它一定要解方程組，一般很麻煩，我想如果能減少未知數的個數，問題可能簡單些.于是我認為利用焦半徑法和參數方程法更簡單些，因為這兩種方法都只有一個未知數，因此我可以想到解法4、解法5.
生3：解法3雖然不易聯系到向量的知識，但解法思路清晰，容易接受.
生4：解法6雖然是解直角三角形問題，但變形技巧要求太高，同時又要用面積公式，而且還要用橢圓的定義，“彎”繞得很大，難以想到.
生5：解法6我是這樣發現的，即從減少未知數的個數入手，結合橢圓的定義，求出｜PF1｜#8226;｜PF2｜的積等于40，用三角形面積相等建立方程就可求得y了.
師：非常好.從上述解法中，我們可以得到這樣的啟示：解析幾何中解有關垂直問題，關鍵在于準確把握“垂直”這一概念是如何反映的.如從直線方程上看，其特征為k1k2=-1；從向量的特征看出PF1#8226;PF2=0；還可以從解三角形知識入手，通常可以用勾股定理、面積公式等知識來解決，正如以上六種解法所敘述的.而從數學思想的層面看，其核心就是“轉化”的思想，將“垂直”轉化為符號語言、圖形語言，從中尋找規律，實施解題，這正是解決數學問題的一般規律，需要很好地掌握.
三、另辟蹊徑
問題4：請同學們認真分析思考，解法6中存在一些規律性的東西嗎？
師：在解法6中，利用了面積法計算得S△PE1F2=20，大家觀察一下這個結果是否有一些特殊？（學生觀察）
生：與橢圓方程中b2的相同.
師：這是偶然的還是蘊含著某種規律？滿足題設條件的面積S=b2一定成立嗎？
教師變式：
問題5：如果我們把問題推廣，改為：P是橢圓x2a2+y2b2=1
上一點，F1，F2為兩焦點，當∠F1PF2＝θ時，求點P的坐標及三角形PF1F2的面積.你是否還能用上述解法的思路來求解？
（學生求解，得出答案：|xp|=acc2-b2tanθ2 ，
|yP|=b22tanθ2，S=b2tanθ2）.
問題6：這樣的結論是否具有一般性？
師：先請同學們再來思考這樣一個問題（為問題解決作鋪墊）：
師：非常好！那∠F1PF2有范圍限制嗎？
生11：我想應該有.
師：如果有，那限制條件又是什么呢？怎樣才能找到這個限制條件？
生12：應該與橢圓的形狀有關.
師：橢圓的形狀也就是它的圓扁程度，又由哪個量來確定？
生13：由離心率e確定.
師：既然這樣，我想請大家來思考下面問題：
如果橢圓x2a2+y2b2=1
上存在點P，使得∠F1PF2=θ，問橢圓的離心率e應滿足什么條件？
學生陷入了深深的思考……
（一會兒，一位學生首先站了起來）
生14：由推廣引申的結論|xP|=acc2-b2tanθ2，要使存在滿足條件的點P，必須c2-b2tanθ2≥0，化簡得sinθ2≤e＜1.
師：好，做得非常漂亮，我們得到了一個非常重要的結論：要使橢圓x2a2+y2b2=1
上存在點P使得∠F1PF2=θ，則橢圓的離心率e應滿足sinθ2≤e＜1.從這個結論的發現過程中，讓我們感受到了探索數學問題的奧秘和樂趣，這種“另辟蹊徑”是培養創新思維的重要手段，希望同學們好好體會.
四、總結歸納
問題7：本題中同學們發現的6種基本解法各有哪些特點？是否可以遷移應用？
問題8：在解題時，我們運用了哪些重要的數學思想？你有哪些感悟？
（教師歸納評析，略）
評析:
探索是數學的生命線，但探索并不神秘，也非高不可攀.黃河清老師在探究課型中，堅持圍繞“問題”這樣一條主線，注重從最基本的問題開始，鼓勵學生自主探索和實踐，為學生的發展提供了廣闊的空間和舞臺，這是非常值得學習借鑒的，因為這樣的訓練能在培養學生的數學能力中發揮巨大的作用.
以下就在本節探究課教學幾個環節的處理上，來探討黃老師的教學思想和教學智慧.
一、問題引入
“問題引入”是一節探究課的關鍵，選取的問題是否具有探索性，能否激發學生之“惑”，是否與學生“最近發展區”相關聯，決定著一節課教學目標的走向.
本節課黃老師對習題的選取很具典型性，正如黃老師課堂上說的：“這是課本中一道非常好的習題.說它‘好’，一是從思維的角度看，它有很多切入點去求解；二是通過對其解法的總結、歸納和拓展，我們能對圓錐曲線的性質及一般解題方法和規律理解得更深刻.”這道題目的選擇，突出了研究的目的性、啟發性、示范性、延伸性、規律性，有效地激發了學生的探究熱情，為教學搭建了很好的平臺.同時，無論是圍繞“垂直”關系入手的解法1、2、3，還是從解三角形入手的解法4、5、6，六種基本解法涵蓋了解圓錐曲線問題的基本策略，體現了很強的訓練目標要求.
二、通法探究
通法，指對一類問題的共同特征進行處理解決的通用策略.通法探究，要注重解決三個層面的問題：一是通法的“合理性”；二是通法的“針對性”；三是通法的“程序性”.教師要從它的邏輯結構、方法本質上向學生闡述其合理性，讓學生理解通法之所以“通”，是因為它遵循了解題的基本原則，符合知識發生發展最一般的規律，是解決問題最普遍的法則，為學生提高對通法內涵的認識和掌握奠定了堅實的基礎.
在這一環節上，黃老師設置了幾個問題：
問題2：你能歸納出每一種解法各有什么特點嗎？
問題3：請同學們自我對照評價一下，以上哪種解法更符合你的思維習慣？哪一種解法你覺得比較難發現思路？
這些問題的設置，體現了黃教師“以學生為本”、“教服從于學”的教學思想.事實上，課堂上把學習的主動權交給學生，讓學生學會剖析自己的觀點，學會對問題進行比較，自主“構建”符合其認知水平的知識體系，這正是幫助學生提高能力最重要的途徑，黃老師在課堂上特別注重創設這樣的機會給學生.在學生討論的基礎上，黃老師再對學生的認識進行歸納、總結、提煉，引導學生將認識上升到數學思想的層面，拓展了學生的數學視野.這種既遵循學生認知規律，又有目的地對學生進行訓練和培養的思路，正是“黃河清‘問題導學’教學法”的重要思想.
三、另辟蹊徑
“另辟蹊徑”是探究課的核心環節，在教師提出的“問題”或根據學生自主發現的“問題”引導下，讓學生學習怎樣從問題的條件或結論所具有的特征，通過自主轉換思維角度，尋求出區別于常規解題方案的辦法.
本節課的“變式訓練”很特別，說“特別”，是因為課
堂上的變式并不是完全按照教師原有的訓練思路去變，而是從學生認知上遇到的困惑出發去“變式”，是一種在教學中衍生出來的動態變式，這也是“黃河清‘問題導學’教學法”強調要深度關注的問題，即怎樣充分注重“二次生成問題”的解決.在課堂教學中，由于解法6“變形技巧要求太高，同時又要用面積公式，而且還要用橢圓的定義，‘彎’繞得很大，難以想到”（學生語），教師就此去拓展、分析這一解法的來龍去脈，讓學生明白解法的本質特征，在解決沖突和矛盾的過程中，使學生從困惑到驚訝，從思考到頓悟，思維活動得到充分的開展.這是本節課的一大亮點，特別是，在變式的過程中陷阱不斷，高潮迭起，充分讓學生感受到了變化的奧秘，學生十分興奮和投入，充分體現了數學的魅力，也體現了黃老師駕馭課堂教學的高超專業能力和教學的藝術.
四、總結歸納
一節探索課，開展了眾多思維的訓練，面對成功或失敗的種種探索，怎樣在頭腦大量的認知中總結出最精華的思想、方法，這對學生而言是比較模糊的，需要教師引導、升華.通過這一環節的教學，教師要著重提高學生的信息素養，包括：高效獲取信息的能力，熟練、批判性地評價信息的能力，有效吸收、存儲、快速提取信息的能力，傳達信息、創造信息的能力，從而將駕馭信息的能力轉化為自主、高效地學習與交流的能力，這是提高學生創新思維品質的重要手段.
本節課中，教師的總結歸納無處不在，無論是問題2、問題3、問題4、問題6，還是總結歸納環節中的問題7、問題8，黃老師都十分注重引導學生思考和自主構建.他認為，學生對知識的學習必須要有優化的過程，要注重讓學生自己講道理，使學生能在知識的學習中進行高水平的思維訓練.在此基礎上，教師再進行總結、提煉，充實和完善學生的認知結構，這是保障“雙基”教學的重要舉措，也是“黃河清‘問題導學’教學法”的一大特色.
本節課還有一點讓人贊嘆，就是：黃老師在教學中很善于對學生的思維狀況進行反思、抽象、概括，總能將其提升到新的高度，形成“亮點”，讓學生對探索活動有更深刻的記憶，對數學探究的魅力充滿更多的期待，成為學生進行創新實踐強大的“催化劑”.
(責任編輯 金 鈴）
