巧用圖象識別二次函數的增減性

函數的增減性的識別，對于初中學生來說，既抽象又枯燥，而且難以理解.那么怎樣才能真正理解它呢？為此筆者根據自己的教學經驗，結合學生的生活實際，摸索到了一些識別竅門，易記易懂，僅供大家參考.

一、導入

如圖1所示，當人從A點到B點時，是爬坡，在這個過程中，此人水平方向的前進距離x在逐漸增加，同時他離開地面AC的高度y也在不斷增加.

由圖可知，人在上坡時，爬得越高，他離開起點A的水平距離也越大，即高度y隨著水平距離x的增加而增加，到達坡頂時，高度y值達到最大.

不難知道，當人越過B點向C點進發時，開始下坡，這時人離開地面AC的高度y隨著水平距離x的增加而降低.

如果我們在圖2中建立如圖所示的直角坐標系，則水平距離x、高度y剛好是此人爬坡時所在位置的縱橫坐標，可知上坡時y隨x的增大而增大；下坡時，y隨x的增大而減小.

由上可知，若一個函數的圖象形狀呈上坡時，圖象上的點的縱坐標的變化規律是y隨橫坐標x的增大而增大；反之，函數圖象呈下坡時，y隨x的增大而減小.

（附：由于實際爬坡時，去時是上坡，回來時則為下坡，行進方向不同上下坡隨之變化，易混淆.為了避免混淆，我們在直角坐標系里對“上、下坡”概念作統一規定：函數圖象一律由“從左向右”這個方向來判定“上坡、下坡”.如圖2中，按從左向右的方向來判定，則AB坡始終為上坡，BC坡始終為下坡）

二、應用

1.圖3是函數y=-2x2+4x-1的函數圖象，由上法可知，從左往右看，在對稱軸左側圖象呈上坡狀，右側呈下坡狀.那么，對稱軸左側圖象上的點應是y隨x的增大而增大，右側圖象上的點應是y隨x的增大而減小，這剛好與二次函數的增減性質相吻合.

2.圖4是函數y=x2-2x-1的圖象，可否套用上述規律呢？

同樣可以.圖象從左往右看，在對稱軸的左邊呈下坡，右邊呈上坡，因此圖象左邊y隨x的增大而減小；右邊y隨x的增大而增大.這也與二次函數的增減性質相符合.

由上可知，任何一個二次函數的“增減性”都可用“上、下坡”理論來識別.

三、推廣

其實，一次函數、反比例函數等其他函數的增減性也可用“上、下坡”理論來判別.

1.圖5是函數y=3x+5的圖象，從左往右看，圖象呈上坡，因此y隨x的增大而增大（這與一次函數k>0時的性質相符合）.

2.圖6是函數y=1/x的圖象，從左往右看，兩個分支都呈下坡狀，故在各個分支內y隨x的增大而減小.

3.圖7是函數y=sinx的部分圖象，從左往右看，在區間CA圖象呈上坡，y隨x的增大而增大，是增函數；在區間AB圖象呈下坡，y隨x的增大而減小，是減函數.

4.圖8是函數y=ax(a﹥0，a≠1)的圖像，從左往右看，當a＞1時，圖象呈上坡，

y隨x增大而增大，是增函數；當0＜a＜1時，圖象呈下坡，是減函數.同樣的方法還可以判斷對數函數的增減性.

5.圖9是y=tanx函數的部分圖象，在每一個周期內，從左往右看，圖像都呈上坡，所以在每一個周期內y隨x的增大而增大，都是增函數.

6.還可以推廣到如圖10等類型的函數圖象.在區間AB、CD、DE呈上坡，則y隨x的增大而增大；在區間BC、EF呈下坡，則y隨x的增大而減小.

綜上所述，凡是函數圖象呈上坡時，函數值y隨x的增大而增大（減小而減小）；圖象呈下坡時，函數值y隨x的增大而減?。p小而增大）.

(責任編輯 金 鈴）