新課程下談高考初等函數性質的突出應用

初等函數是高中數學的核心概念，是每年高考必考查的重點內容之一，隨著新教材課程改革的不斷向前發展，高考函數命題已從理論和實踐上發生了深刻的變化，給函數問題注入了生機和活力.運用數形結合的思想加深對函數的認識和理解，掌握函數的圖象特征和性質，樹立運動變化、廣泛聯系的觀點，巧用函數思想，整合函數性質，是學好函數知識的關鍵，是求解函數題目的途徑.下面結合案例，探討高考函數基本性質的突出應用.

一、函數的單調性、奇偶性、對稱性

函數的奇偶性、單調性、對稱性的綜合應用，主要體現在奇偶性、單調性常常相互應用，軸對稱性常擴展為周期性.函數軸對稱、周期性體現在課標教材的是三角函數的模型為載體的相關性質應用，但高考函數有向抽象函數發展的趨勢，因此備考時一定要引起高度重視.

【例1】 已知定義在R上的奇函數f(x)，滿足f(x-4)=-f(x)，且在區間［0，2］上是增函數，若方程f(x)=m(m>0)在區間［-8，8］上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4= .

評析:上例考查了函數的奇偶性、單調性、對稱性的綜合應用.解決的方法是數形結合的思想，先求周期或對稱軸，然后在周期內畫出函數的草圖，并完善在定義域的圖象，根據已知關系在圖象中確定關系，利用兩函數的交點，求解問題，具體求解過程用到函數與方程的思想、函數圖象交點問題，這是研究函數問題的重要思想方法，也是函數基本性質的突出應用.

二、函數圖象與函數中心對稱性

【例2】 函數y=11-x的圖象與函數y=2sinπx(-2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于（）.

A.2 B. 4 C. 6 D.8

評析:上例反映了函數的中心對稱與函數圖象的內在聯系，表面上看，是兩個函數的圖象交點問題，實際上兩個函數有著共同的對稱中心.問題解決的方法是數形結合的思想，仔細觀察，先求對稱中心，然后在同一坐標系畫出要考查的兩個函數圖象，根據已知圖象中確定中心的左側圖象的交點個數，然后利用對稱性確定共有8個交點.具體求解過程用到函數圖象草圖的畫法，這說明基本初等函數的圖象一定要熟練掌握，在平面直角坐標系下，準確、迅速畫出圖象是我們學習函數知識應用函數性質的基本技能和基本功.復雜函數的性質通過圖象能解決就用圖象解決，不能解決另辟蹊徑.這是研究函數問題的重要思想方法，也是函數基本性質的突出應用.

三、以分段函數為載體，考查函數的單調性

這是一類小題目，但綜合性強，涉及函數的單調性判斷、證明、比較大小，求單調區間及解含有關參數的范圍的不等式.

【例3】 設函數f(x)=x2-4x+6，x≥0；x+6，x＜0，

則不等式f(x)＞f(1)的解集是（）.

A.(-3，1)∪(3，+∞)B.(-3，1)∪(2，+∞)

C.(-1，1)∪(3，+∞)D.(-∞，-3)∪(1，3) 

評析：凡涉及函數、方程和不等式的問題，必須首先考慮定義域.求抽象函數的奇偶性，要注意含參數的自變量的取值一定要在定義域， 不能忽視，否則前功盡棄.

四、三角函數圖象性質

【例4】 為了得到函數y=cos(2x+π3)的圖象，只需要將函數y=sin2x的圖象（）.

A． 向左平移5π12個長度單位

B．向右平移5π12個長度單位

C．向左平移5π6個長度單位

D．向右平移5π6個長度單位 

解答：（1）在同一坐標系上作出y=cos(2x+π3)和y=sin2x的圖象，然后根據圖象觀察出將函數y=sin2x的圖象向左平移5π12個長度單位得到函數y=cos(2x+π3)的圖象. （2）找出函數y=cos(2x+π3)的圖象與函數y=sin2x的圖象相鄰的最高點，如y=cos(2x+π3)的一個最高點為（-π6，1），函數y=sin2x的圖象一個最高點為（π4，1），所以將y=sin2x的圖象向左平移5π12個長度單位得到y=cos(2x+π3)的圖象，故選A.

評析：本題主要是考查三角函數圖象的平移，利用三角函數性質可將它們化為同名函數，問題便能解決，這是常規解題思路.上述兩種解法計算量小不易出錯，數形結合，比較快捷.解決的策略主要是周期函數的特性，三角函數復習還要抓住模型y=Asin(wx+φ)的應用意識，所有的三角誘導公式、和差角公式、二倍角公式都要轉化成主要的三角模型，因為它的性質是已知的.這是對三角函數的本質理解，又是函數基本性質另一突出應用.

(責任編輯 金 鈴）