橢圓內(nèi)接三角形最大面積的一種探求

所以△ABC 的面積最大值為12ab#8226;∣u∣max=334ab.

這里u是關(guān)于三個變量α、β、γ的函數(shù)，求其最值不易.

再次探究:這三個變量α、β、γ之間有何關(guān)系?

回到原題，要求三角形△ABC面積的最大值，設想A、B兩點確定，C點在何處?

將直線AB進行平移，移至與橢圓相切處，切點應該就是C點(離線段AB較遠的切點)，

此時C點距離AB最遠， △ABC的面積最大，

也就是說過C點的切線應該與AB 平行.

設β-γ=x，γ-α=y， ∴x+y=β-α，

則 x，y∈(-2π，2π)且x，y≠0.

∵u=sin(α-β)+sin(β-γ)+sin(γ-α)，

∴u=sinx+siny-sin(x+y).

由③，④得

cosy=cosx，⑤

cos(x+y)=cosy.⑥

由⑤式得:

y=x+2kπ或者y=-x+2kπ，其中k∈Z.

(ⅰ)若y=x+2kπ，k∈Z，

將y=x+2kπ代入⑥式，

得cos2x=cosx，

因為x∈(-2π，2π) 且x≠0，

得x=±2π3，x=±4π3，即

x=±2π3， y=±2π3+2kπ；

x=±4π3，y=±4π3+2kπ，

其中k∈Z.

代入u=sinx+siny-sin(x+y)，

得u=332或u=-332.

(ⅱ) 若y=-x+2kπ，k∈Z，代入(6)式，

得cosy=1，

∴y=2kπ，k∈Z，不符合y∈(-2π，2π)且y≠0的要求.

綜合(ⅰ)(ⅱ)，得∣u∣=332，

S△ABC=12ab∣u∣=334ab.

【解題回顧】

注意到S△ABC=12ab∣sin(α-β)+sin(β-γ)+sin(γ-α)∣.

若a=b呢?則橢圓變成圓，半徑為a.

此時三角形面積是S△ABC=12a2∣sin(α-β)+sin(β-γ)+sin(γ-α)∣，

而圓內(nèi)接三角形最大面積為334a2 ，

即∣sin(α-β)+sin(β-γ)+sin(γ-α)∣的最大值為332.

所以橢圓內(nèi)接三角形最大面積為334ab.

參考文獻

陳元照. u=sin(α-β)+sin(β-γ)+sin(γ-α)最值的一種求法.中學數(shù)學教學，2006（1）.

(責任編輯 金 鈴）