利用數(shù)學(xué)問(wèn)題特征解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的關(guān)鍵在于善于恰當(dāng)?shù)刈儞Q數(shù)學(xué)問(wèn)題，而恰當(dāng)?shù)淖儞Q數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵在于抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的特征，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分析、變換、聯(lián)想和構(gòu)造.所謂數(shù)學(xué)問(wèn)題特征主要包括條件、結(jié)論所顯示的外形結(jié)構(gòu)特征、數(shù)值特征和圖形位置特征等，深刻把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的特征，往往可以迅速獲得解決問(wèn)題的途徑或簡(jiǎn)化問(wèn)題解決的過(guò)程.本文將從數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)值特征和圖形特征三個(gè)方面進(jìn)行闡述.

一、 利用結(jié)構(gòu)特征解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

【例1】 已知a+b=1且a、b、c、∈R+，求證：

ab+1ab≥4+14.

分析：本題結(jié)論兩邊的外形結(jié)構(gòu)特征：兩邊式子均為兩個(gè)互為倒數(shù)的式子之和，由這一特征可構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+1x，通過(guò)討論其單調(diào)性來(lái)解決此問(wèn)題.設(shè)f(x)=x+1x，我們不難證明f(x)在（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)，又由均值不等式可得

ab≤(a+b2)2=14，

所以f(ab)≥f(14)，于是原問(wèn)題解決.

【例2】 設(shè)A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，求證：

sinA+sinB+sinC≤332.

圖1

分析：將原不等式變形為

sinA+sinB+sinC3≤32=sinA+B+C3

.此時(shí)由不等式兩邊的外形結(jié)構(gòu)特征，我們可以聯(lián)想到三角形的重心坐標(biāo)公式和正弦函數(shù)y=sinx，我們得到如下證法.

證明：設(shè)P(A，sinA)，Q(B，sinB)，R(C，sinC) 為函數(shù)y=sinx（0

因?yàn)椤鱌QR的重心G在其內(nèi)部，而△PQR

在曲線y=sinx（0

因此有sinA+sinB+sinC3≤sinA+B+C3=sinπ3=32

，從而得命題成立.

二、 利用數(shù)值特征解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

【例3】 若a＞0，b＞0，2a+3b=1，求1a+1b的最小值.

分析：觀察題目的條件2a+3b=1，而要求解的是式子1a+1b的最小值.仔細(xì)分析這個(gè)數(shù)值“1”，如果用要求解的式子中的1來(lái)代替2a+3b，結(jié)果會(huì)怎么樣呢？嘗試后果然尋求出其獨(dú)特的解法：

1a+1b=2a+3ba+2a+3bb

=2+3ba+2ab+3

=5+3ba+2ab

≥5+23ba×2ab.

所以所求式子的最小值為5+26.

【例4】 已知點(diǎn)A(-1，3)，設(shè)F為橢圓x225+y216＝1的右焦點(diǎn)，M為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，求|AM|+35|MF|的最小值，并求出此時(shí)M的坐標(biāo).

圖2

分析：式子|AM|+53|AF|較為“丑陋”，如果設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)來(lái)求其最小值，此時(shí)函數(shù)表達(dá)式將會(huì)異常復(fù)雜，無(wú)形中加大解題的難度.仔細(xì)分析數(shù)值53，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)它正好為1e，結(jié)合橢圓的第二定義可知53|MF|=|MM′|，也就是M到右準(zhǔn)線的距離，于是|AM|+53|MF|=|AM|+|MM′| ，所以當(dāng)AM與MM′共線時(shí)，|AM|+53|MF|取得最小值.此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(574，3)，|AM|+53|MF|的最小值為：|AM′|=253+1=283.

三、 利用圖形特征解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

【例5】 設(shè)x1是方程x+log2x=2的根，x2是方程x+2x=2的根，則x1+x2= .

圖3分析：方程x+log2x=2的根是函數(shù)y=log2x與y=2-x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；方程x+2x=2是函數(shù)y=2x與y=2-x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).而函數(shù)y=log2x與y=2x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.x1+x2是直線y=2-x與直線y=x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的二倍，即x1+x2=2.

【例6】 已知a1，a2，b1，b2∈R+求證：

a21+a22+b21+b22≥(a1+b1)2+(a2+b2)2.

圖4

分析：由a21+a22，b21+b22，(a1+b1)2+(a2+b2)2聯(lián)想到由勾股定理求直角三角形的斜邊長(zhǎng)，故構(gòu)造相對(duì)應(yīng)的矩形如圖4所示，顯然以a1、a2為長(zhǎng)和寬的矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為a21+a22，同樣以b1、b2為長(zhǎng)和寬的矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為b21+b22，以a1+a2，b1+b2為長(zhǎng)和寬的矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為(a1+b1)2+(a2+b2)2，結(jié)合圖4，我們可證得a21+a22+b21+b22≥(a1+b1)2+(a2+b2)2

.

通過(guò)以上幾個(gè)例子我們可以看到，深刻把握數(shù)學(xué)問(wèn)題特征對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題往往可以起到事半功倍的效果，同時(shí)對(duì)提高學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力起到重要的作用.

(責(zé)任編輯 金 鈴）