高考數(shù)學(xué)中涂色問題的解題策略

涂色問題包含著豐富的數(shù)學(xué)思想.解決涂色問題的方法技巧性強(qiáng)且靈活，

主要利用排列、組合中的兩個(gè)基本原理解決涂色問題.（一）線形區(qū)域涂色問題——分步計(jì)數(shù)原理；（二）環(huán)形區(qū)域涂色問題——分類計(jì)數(shù)原理.

主要分類方法：（1）根據(jù)涂色所用顏色種數(shù)進(jìn)行分類；（2）根據(jù)可同色區(qū)域（不相鄰區(qū)域）是否涂相同顏色進(jìn)行分類.

【例1】 用四種不同顏色給圖1中的4個(gè)區(qū)域涂色，如果每一個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩區(qū)域不能涂同一種顏色，共有 種不同的涂色方法.

分析：方法一：從A區(qū)域開始按A、B、 C、 D順序涂色，A區(qū)域有4種方法；B區(qū)域因與A區(qū)域相鄰，只要與A區(qū)域不同色，有3種方法；C區(qū)域只要與前面的B區(qū)域不同色，有3種方法；D區(qū)域只要與前面的C區(qū)域不同色，有3種方法.

所以根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即乘法原理，得涂色方法總數(shù)為4×3×3×3=108.

方法二：可同色區(qū)域?yàn)锳與C，A與D，B與D.依題意只能選用4種顏色，至少用2種顏色，要分三類：

（1）用4色：A與C、A與D、B與D均不同色，則有A44；

（2）用3色：有且只有兩個(gè)區(qū)域同色，即A與C同色，或A與D同色，或B與D同色，共3種情況，則有3A34；（3）用2色：A與C同色、B與D同色，則有A24；

根據(jù)涂色種數(shù)進(jìn)行分類，由加法原理得涂色方法總數(shù)為A44+3A34+A24=108.

通過比較得知方法一較簡單，所以線性區(qū)域的涂色問題，利用分步計(jì)數(shù)原理依次對(duì)各區(qū)域進(jìn)行涂色會(huì)比較容易.

適當(dāng)變形例1，將線形涂色問題自然過渡到環(huán)形涂色問題.

【例2】 用四種不同顏色給圖2中的4個(gè)區(qū)域涂色，如果每一個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩區(qū)域不能涂同一種顏色，共有 種不同的涂色方法.

圖2

分析：四個(gè)區(qū)域首尾相連的簡單環(huán)形區(qū)域的涂色問題，是涂色問題另一常見問題.

可同色區(qū)域?yàn)锳與C，B與D.

依題意只能選用4種顏色，至少用2種顏色，要分三類：

（1）用4色：A與C不同色、B與D不同色，則有A44；

（2）用3色：有且只有兩個(gè)區(qū)域同色，即A與C同色，或B與D同色，則有C12A34；

（3）用2色：A與C同色、B與D同色，則有A24.

所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為A44+C12A34+A24=84.

【例3】 如圖3，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有多少種？

分析：可同色區(qū)域1與3，2與4.

依題意只能選用4種顏色，至少用3種顏色，要分兩類：

圖3

（1）用4色：有且只有兩個(gè)區(qū)域同色，即1與3同色，或2與4

同色，則有C12A44；

（2）用3色：1與3同色、2與4同色，則有A34.

所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為C12A44+A34=72.

變式：四棱錐P-ABCD，用4種不同的顏色涂在四棱錐的各個(gè)面上，要求相鄰不同色，有多少種涂法？

把立體圖形的涂色問題轉(zhuǎn)化為環(huán)形區(qū)域涂色，問題就迎刃而解.

將例3的第5區(qū)域分成兩部分，就得到2003年高考江蘇卷的涂色問題.

【例4】 （2003，江蘇）某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分6個(gè)部分（如圖4）.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有 種.

分析：依題意只能選用4種顏色，至少用4色，具體4色的用法要分五類：（1）2與5同色、3與6同色，則有A44；（2）2與5同色、4與6同色，則有A44；（3）3與5同色、2與4同色，則有A44；（4）3與5同色、4與6同色，則有A44；（5）3與6同色、2與4同色，則有A44.所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5A44=120.

涂色問題是一個(gè)開放性的問題，它能充分拓寬學(xué)生的思路，讓學(xué)生根據(jù)所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題中，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神.

(責(zé)任編輯 金 鈴）