洛倫茲變換的推導(dǎo)及對(duì)其悖論的解釋

圖１如圖1所示，取兩個(gè)坐標(biāo)系k、k′，k系相對(duì)于觀測者靜止，k′相對(duì)于觀測者以速度u沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，空間有個(gè)點(diǎn)P，在k系中為(x，y，z，t)，在k′系中為(x′，y′，z′，t′)。這兩個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)該如何變換呢？其實(shí)這就是洛倫茲變換。在狹義相對(duì)論中，有一個(gè)公設(shè)和兩個(gè)基本假設(shè)，所謂的公設(shè)是指在所有的參考系中，時(shí)空是均勻的；兩個(gè)基本假設(shè)包括狹義相對(duì)性原理和光束不變?cè)怼Ｔ谕茖?dǎo)洛倫茲變換的過程中，要用到矩陣等數(shù)學(xué)知識(shí)，這對(duì)于初學(xué)者會(huì)感到困難，本文運(yùn)用基本的代數(shù)知識(shí)，從由一個(gè)公設(shè)和兩個(gè)基本假設(shè)出發(fā)來推導(dǎo)出洛倫茲變換，并通過洛倫茲變換來解釋一些由高中教材引起的悖論。

一、 洛倫茲變換的推導(dǎo)過程

1.由公設(shè)列出兩個(gè)參數(shù)方程

由于在所有的參考系中，時(shí)空是均勻的，因此坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換應(yīng)該是線性的，它們是正比例關(guān)系。即

2.由狹義相對(duì)性原理確定兩個(gè)參數(shù)關(guān)系

狹義相對(duì)性原理告訴我們，任何物理規(guī)律在慣性參考系中都是等價(jià)的。由狹義相對(duì)性原理可知，在k系中觀察k′系，與在k′系中觀察k系是等價(jià)的，故γ1=γ2=γ。

3.由光速不變?cè)韺?dǎo)出參數(shù)

根據(jù)光速不變?cè)恚ㄕ婵罩校魏螀⒖枷抵泄馑俨蛔儯┛傻茫?/p>

x=ct，x′=ct′，

將其代入（1）（2）得ct=γt′(c+u)，ct′=γt(c-u)。

兩式相乘再等號(hào)兩邊同時(shí)約去tt′得γ=11-(uc)2。

4.導(dǎo)出洛倫茲變換

將γ反代入（1）（2）可得到，洛倫茲變換為x′=x-ut1-(uc)2

二、對(duì)悖論的解釋

習(xí)題：（人教版3-4第十五章第二節(jié)“問題與練習(xí)”第1題）如圖2所示，地面人認(rèn)為A、B兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生。對(duì)于坐在火箭中沿兩個(gè)事件發(fā)生地點(diǎn)連線飛行的人來說，哪個(gè)事件先發(fā)生？

悖論1：A、B事件同時(shí)發(fā)生，故Δτ=tA-tB=0，根據(jù)Δt=Δτ1-(uc)2，可以得到Δt=0，所以A、B事件同時(shí)發(fā)生。

解釋：先來看悖論中給出Δt、Δτ之間關(guān)系的情景（人教版3-4第十五章第二節(jié)內(nèi)容）。如圖3所示，假設(shè)車廂安裝著一個(gè)墨水罐，它每隔一定時(shí)間滴出一滴墨水。墨水在t′1、t′2兩個(gè)時(shí)刻在地面形成P、Q兩個(gè)墨點(diǎn)，也就是說發(fā)生了兩個(gè)事件。車上的人認(rèn)為兩個(gè)事件的時(shí)間間隔是Δt′=t2′-t′1=Δτ，地面觀察者測得的時(shí)間間隔為Δt=t2-t1，通過一定的數(shù)學(xué)推導(dǎo)可以得到上述Δt、Δτ的關(guān)系式。

在洛倫茲變換中，時(shí)間間隔應(yīng)該為Δt=Δτ-vc2(x2-x1)1-(uc)2，由于書中的例子中，墨水罐是固定在車上的，故x2-x1=0。而例題中的，雖然Δτ=0， 但xA-xB<0，所以Δt=tA-tB>0，故B事件先發(fā)生。

悖論2：設(shè)一束光從B到A再返回B的時(shí)間為Δτ，地面人認(rèn)為Δτ=2LABc，對(duì)于坐在火箭中的人來說，Δt=LABc+u+LABc-u，結(jié)合上式可以得出Δt=Δτ1-(uc)2。經(jīng)反復(fù)檢驗(yàn)，推導(dǎo)過程無誤，Δt=Δτ1-(uc)2是不正確的。

解釋：悖論2中違反了光束不變?cè)恚瑢?duì)于坐在火箭中的人來說，AB的長度發(fā)生了變化，由洛倫茲變換可得：

(責(zé)任編輯 黃春香）