“能量法”求解系統中關聯速度問題例析

在國內、外中學物理競賽中，常見物體系中，不同物體的速度求解問題，有些問題的“瓶頸”也是卡在物體的相關速度上。對于這類問題，敘述往往簡潔，且題給條件隱蔽，情境相像而方法各異，它使人思路混亂難以入手。筆者最近通過輔導學生發現，有些相關速度問題的求解可以借助“能量守恒”的思想來突破，現舉幾例。

圖1

【例1】 如圖1所示，物體A置于水平面上，物體A的前上端有一小動滑輪B，D為定滑輪，一根輕繩繞過D、B后，其一端水平固定在C點，當以速度v拉繩頭時，物體A沿水平面運動，若繩與水平面夾角為α，物體A運動的速度是多大？

舊解:首先根據繩約束特點，任何時刻繩BD段上各點有與繩端D相同的沿繩BD段方向的分速度v，再看繩的這個速度與A移動速度的關系：設A右移速度為vx，則相對于A，繩上B點是以速度vx從動滑輪中抽出的，即vBA=vx；而根據運動合成法則，在沿繩BD方向上，繩上B點速度是其相對于參照系A的速度vx與參照系A相對靜止參照系速度vxcosα的合成，即v=vBA+vxcosα，由上述兩方面可得：vx=v1+cosα。

新解:根據“輕繩本身”通過滑輪拉物體并不吸收或釋放能量的

特點，若給繩頭加一外力F，并沿v的方向，則外力對繩頭的輸入功率P入=Fv就轉變成繩對物體A的功率輸入P′入=（F+Fcosα）vA，由能量轉化守恒思想有Fv=FvA+FvAcosα，于是vA=v1+cosα。兩解異曲同工。

【例2】 如圖2所示，頂桿AB可在豎直滑槽K內滑動，其下端由凹輪M推動，凸輪繞O軸以勻角速度ω轉動，在圖示瞬時OA=r，凸輪輪緣與A接觸，法線n與OA之間的夾角為α，試求此瞬時頂桿AB的速度。

圖2 圖3

舊解:對桿AB，速度vAB可以分解為法向速度vn和切向速度vt；對凸輪輪緣與A接觸點，速度ωr的法向速度也應為vn；所以根據矢量圖（如圖3）可知ωrsinα=vABcosα，故vAB=ωrtanα。

新解:在接觸點處，能量轉移必須保持守恒，設凸輪輪緣與A接觸點處彈力為F，則AB桿得到能量的功率P得=FvABcosα一定等于凸輪失去能量的功率P失=Fωrcos(π2+α)，故有vAB=ωrtanα。

【例3】 兩只小環O和O′分別套在靜止不動的豎直桿AB和A′B′上。一根不可伸長的繩子一端系在A′點上，并穿過環O′，另一端系在環O上，如圖4所示。若環O′以恒定速度v′向下運動，求當∠AOO′=α時，環O的速度v等于多少？

圖4

舊解:以A′為參考，環O′的速度大小為v′，沿A′O′運動；環O的速度v沿桿BA向上，則環O相對環O′的速度大小vOO′=v+v′為，方向向上，這個速度沿繩OO′方向分量應與OO′段繩對O′的速度相同，即有

(v+v′)cosα=v′，∴v=1-cosαcosαv′。

新解:設繩的張力大小為F，考慮到系統能量轉移并保持守恒 有Fvcosα+Fv′cosα-Fv′=0

，即v=1-cosαcosαv′ ，兩者殊途同歸。

圖5

【例4】 質量分別為m1、m2和m3的三個質點A、B、C位于光滑的水

平桌面上，用已經拉直的不可伸長的柔軟輕繩AB和BC連接，∠ABC為π-α，α為銳角，如圖5所示，今有一沖量I沿BC方向作用于質點C，求質點A開始運動時的速度？

析與解:這一問題與上述三個問題都有所不同，瞬時沖量施與C

會使BC繩張力驟然增大，從而損失系統的機械能；而當兩繩的張力降為有限值并作用于A、B和C質點時，系統的機械能又會守恒。由于該系統動量守恒是無條件的，而機械能守恒是有條件的。因此當AB和BC繩受力驟降有限值后并作用于A、B和C質點時，三質點系統首先沿BC方向（x軸）動量守恒：I=m1vAcosα+m2vBcosθ+m3vC，其次在垂直BC（y軸）方向動量亦守恒：0=-m1vAsinα+m2vBsinθ，式中θ為質點B開始運動的速度與BC繩間的夾角，vA、vB和vC分別是三質點開始運動的速度。再者，考慮到機械能轉移并守恒 有：

FABvA+FABvBcos［π-（θ+α）］=0，和FBCvBcosθ-FBCvc=0，聯立上述四式可得：

vA=Im2cosαm2(m1+m2+m3)+m1m3sin2α

。

綜上所述，對于輕繩或輕桿等物理模型所關聯的物體之間速度求解，我們當然可以借助兩物體速度沿繩方向的分速度相同及桿與另一物體在接觸點處法向方向上的分速度來解決，不過比較繁瑣。但若有效地運用“能量法”來解，則相對簡單一些。

(責任編輯 易志毅）