談數(shù)學問題的形象化

數(shù)學理論的表述往往是抽象的，而圖形則以其生動、直觀的形象展現(xiàn)于人們的面前，以幫助理解、記憶抽象的數(shù)學內(nèi)容。早在1874年，當康托首次提出集合論的時候，許多人感到難以理解，甚至把這一理論形容成“霧中之霧”。然而，英國邏輯學家維恩卻建議用簡單的圖形表示集合，用兩個圓的不同位置關(guān)系來表示兩個集合之間諸如交集、并集、補集等關(guān)系。這種形象化的表示，使得深奧的集合理論變得人人感到親切，就連小學生也不難理解。正因為如此，形象化的思維方式一直受到數(shù)學家的偏愛。法國數(shù)學家阿達瑪通過調(diào)查一些著名數(shù)學家和科學家發(fā)現(xiàn)，他們中很多人不僅回避使用理性的語言，也避免使用代數(shù)的或精確的符號……他們使用豐富的想象。

在數(shù)學學習中，形象化的能力不僅有助于促進數(shù)學知識的理解、記憶和提取，而且有助于提出和解決數(shù)學問題。例如，卡爾·鄧科爾設(shè)計的一道智力題，就是通過直觀形象的方式得以解決的。

問題：一天早晨，一位和尚開始爬一座高山，他忽快忽慢地攀登著，不時地停下來休息或吃飯。日落西山，他到達了山頂上的寺廟。幾天后，他沿著同一條路踏上歸途，仍然日出出發(fā)，仍然忽快忽慢地行走。當然，他下山的平均速度比上山要快，證明路途中存在一點，和尚在往返途中都是于白天的同一時刻經(jīng)過這一點。

如果用代數(shù)方法或邏輯推理方法解決這個問題，恐怕很難有進展，最簡單的方法是把這一問題形象化：設(shè)想有兩個和尚在日出時分出發(fā)，一個在山腳重現(xiàn)上山的過程，一個在山頂重現(xiàn)下山的過程，那么，不管他們走的速度如何，必然會在某一時刻在某一點相遇。稍微抽象一點的方法是想象兩個和尚的位置為兩條函數(shù)曲線，兩條線必然交于一點。把抽象的內(nèi)容形象化，再通過直觀的形象來深化抽象的內(nèi)容，這種思維方式不僅適用于數(shù)學研究，也適用于數(shù)學學習。

抽象的數(shù)學概念的形成與理解，離不開形象化例證的支撐。例如，對于函數(shù)的單調(diào)性這個抽象概念的學習，僅憑定義“對于定義域中任意x1，x2，如果x1>x2時，f （x1）>f （x2）”的字面分析，學生很難理解單調(diào)性的本質(zhì)屬性。只有將一些特殊函數(shù)，如y=3x+2，y=2x，y=（ ）x的圖像與定義結(jié)合起來，

使學生不僅能從定義的語義上去理解、記憶概念，而且在出現(xiàn)“單調(diào)性”概念時，頭腦中立刻浮現(xiàn)出這些函數(shù)的圖像所表示的單調(diào)性的形象，從而真正把握單調(diào)性的概念。同樣，用直觀、形象的圖形、圖示來表示數(shù)學公式的證明及相互關(guān)系，也有助于對數(shù)學公式的理解與記憶。當推導(dǎo)平方和公式時，結(jié)合圖形將公式的符號表示與圖形的直觀形象聯(lián)系起來，納入記憶系統(tǒng)之中。在列方程解應(yīng)用題時，我們可以把其中的數(shù)量關(guān)系形象化，用圖示或圖表表示出來，便于直觀地發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系。

如果說利用函數(shù)的圖像或代數(shù)式的幾何意義將問題形象化與數(shù)學知識掌握的熟練程度有密切關(guān)系的話，那么，構(gòu)造一個圖形或圖解描繪出問題的本質(zhì)關(guān)系則是數(shù)學問題形象化的直接體現(xiàn)。例如，在一個晚會上，有唱歌、小品、書法、跳舞、朗誦、猜謎6個表演項目。要求每位參賽者只參加兩個項目，任意兩個比賽項目中，只有一個參賽者是重復(fù)的，并且6個比賽項目的參賽人數(shù)均相等。根據(jù)這些條件，求參賽者的人數(shù)。

分析：（如下圖）用點表示參賽者，直線表示比賽項目，參賽者A參加某項目p，當且僅當點A在直線上p。于是可將原題轉(zhuǎn)化為形象的圖形：有6條直線，任兩條直線僅有一個交點，每一點僅在兩條直線上，每條直線上的點數(shù)相同，求一共有多少個點？

顯然，點的個數(shù)有C62=15個。所以，參賽者有15人。

由此可以看出用直觀形象的方法解決抽象復(fù)雜問題的獨創(chuàng)性，因此，人們常把復(fù)雜的數(shù)學問題形象化、直觀化視為培養(yǎng)創(chuàng)造能力的基礎(chǔ)。其在教學中的重要性是不言而喻的，因而在教學中應(yīng)使學生養(yǎng)成善于運用直觀圖形來分析、探索解決問題的思維方法與習慣，進而培養(yǎng)學生解決復(fù)雜數(shù)學問題的能力。