談數學問題的形象化

數學理論的表述往往是抽象的，而圖形則以其生動、直觀的形象展現于人們的面前，以幫助理解、記憶抽象的數學內容。早在1874年，當康托首次提出集合論的時候，許多人感到難以理解，甚至把這一理論形容成“霧中之霧”。然而，英國邏輯學家維恩卻建議用簡單的圖形表示集合，用兩個圓的不同位置關系來表示兩個集合之間諸如交集、并集、補集等關系。這種形象化的表示，使得深奧的集合理論變得人人感到親切，就連小學生也不難理解。正因為如此，形象化的思維方式一直受到數學家的偏愛。法國數學家阿達瑪通過調查一些著名數學家和科學家發現，他們中很多人不僅回避使用理性的語言，也避免使用代數的或精確的符號……他們使用豐富的想象。

在數學學習中，形象化的能力不僅有助于促進數學知識的理解、記憶和提取，而且有助于提出和解決數學問題。例如，卡爾·鄧科爾設計的一道智力題，就是通過直觀形象的方式得以解決的。

問題：一天早晨，一位和尚開始爬一座高山，他忽快忽慢地攀登著，不時地停下來休息或吃飯。日落西山，他到達了山頂上的寺廟。幾天后，他沿著同一條路踏上歸途，仍然日出出發，仍然忽快忽慢地行走。當然，他下山的平均速度比上山要快，證明路途中存在一點，和尚在往返途中都是于白天的同一時刻經過這一點。

如果用代數方法或邏輯推理方法解決這個問題，恐怕很難有進展，最簡單的方法是把這一問題形象化：設想有兩個和尚在日出時分出發，一個在山腳重現上山的過程，一個在山頂重現下山的過程，那么，不管他們走的速度如何，必然會在某一時刻在某一點相遇。稍微抽象一點的方法是想象兩個和尚的位置為兩條函數曲線，兩條線必然交于一點。把抽象的內容形象化，再通過直觀的形象來深化抽象的內容，這種思維方式不僅適用于數學研究，也適用于數學學習。

抽象的數學概念的形成與理解，離不開形象化例證的支撐。例如，對于函數的單調性這個抽象概念的學習，僅憑定義“對于定義域中任意x1，x2，如果x1>x2時，f （x1）>f （x2）”的字面分析，學生很難理解單調性的本質屬性。只有將一些特殊函數，如y=3x+2，y=2x，y=（ ）x的圖像與定義結合起來，

使學生不僅能從定義的語義上去理解、記憶概念，而且在出現“單調性”概念時，頭腦中立刻浮現出這些函數的圖像所表示的單調性的形象，從而真正把握單調性的概念。同樣，用直觀、形象的圖形、圖示來表示數學公式的證明及相互關系，也有助于對數學公式的理解與記憶。當推導平方和公式時，結合圖形將公式的符號表示與圖形的直觀形象聯系起來，納入記憶系統之中。在列方程解應用題時，我們可以把其中的數量關系形象化，用圖示或圖表表示出來，便于直觀地發現等量關系。

如果說利用函數的圖像或代數式的幾何意義將問題形象化與數學知識掌握的熟練程度有密切關系的話，那么，構造一個圖形或圖解描繪出問題的本質關系則是數學問題形象化的直接體現。例如，在一個晚會上，有唱歌、小品、書法、跳舞、朗誦、猜謎6個表演項目。要求每位參賽者只參加兩個項目，任意兩個比賽項目中，只有一個參賽者是重復的，并且6個比賽項目的參賽人數均相等。根據這些條件，求參賽者的人數。

分析：（如下圖）用點表示參賽者，直線表示比賽項目，參賽者A參加某項目p，當且僅當點A在直線上p。于是可將原題轉化為形象的圖形：有6條直線，任兩條直線僅有一個交點，每一點僅在兩條直線上，每條直線上的點數相同，求一共有多少個點？

顯然，點的個數有C62=15個。所以，參賽者有15人。

由此可以看出用直觀形象的方法解決抽象復雜問題的獨創性，因此，人們常把復雜的數學問題形象化、直觀化視為培養創造能力的基礎。其在教學中的重要性是不言而喻的，因而在教學中應使學生養成善于運用直觀圖形來分析、探索解決問題的思維方法與習慣，進而培養學生解決復雜數學問題的能力。