基于“漢密爾頓”數(shù)學(xué)模型的研究

摘 要：名額分配問題是生活工作中常見的問題，人們習(xí)慣的認(rèn)為這太簡單了，通過比例的方法就能解決。漢密爾頓數(shù)學(xué)模型源于政治需要，由于政治的敏感性，公平分配成為選擇理論中的世界難題之一，貌似淺顯的數(shù)學(xué)知識，卻得出了有違“常理”的結(jié)論，本為全面的分析研究了漢密爾頓數(shù)學(xué)模型的形成與缺陷，得出了深刻的政治結(jié)論卻又一直未獲根本解決而著稱于世。

關(guān)鍵詞：漢密爾頓 數(shù)學(xué)模型 亞拉巴馬悖論 新州悖論 人口悖論

中圖分類號：O224文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1673-9795（2012）09（b）-0040-02

馬克思曾經(jīng)說過∶“一種科學(xué)只有在成功運用數(shù)學(xué)時，才能達到完善的地步”。一個數(shù)學(xué)模型能夠幫助我們更好地理解一個實際的情況，因為在建立數(shù)學(xué)模型時要考慮了各種邏輯的可能性，定義了所有的概念，并且區(qū)分了重要和次要的因素。數(shù)學(xué)模型的歷史可以追溯到人類開始使用數(shù)字的時代。隨著人類使用數(shù)字，就不斷地建立各種數(shù)學(xué)模型，以解決各種各樣的實際問題。建立數(shù)學(xué)模型是實際問題與數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁。

數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)實問題通過數(shù)學(xué)的方法加以解決，并在此基礎(chǔ)上利用數(shù)學(xué)的概念、方法和理論進行深入的分析和研究，從定性或定量的角度來刻畫實際問題，并為解決現(xiàn)實問題提供精確的數(shù)據(jù)或可靠的指導(dǎo)。從廣義理解，數(shù)學(xué)模型包括數(shù)學(xué)中的各種概念，各種公式和各種理論。因為它們都是由現(xiàn)實世界的原型抽象出來的，從這意義上講，整個數(shù)學(xué)也可以說是一門關(guān)于數(shù)學(xué)模型的科學(xué)。從狹義理解，數(shù)學(xué)模型只指那些反映了特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，這個意義上也可理解為聯(lián)系一個系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系的數(shù)學(xué)表達。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

現(xiàn)實問題可能會涉及到這樣或那樣的諸多因素，因此，數(shù)學(xué)模型只能是現(xiàn)實問題的近似，必然要舍棄一些因素，而且還要做某些假定。正因為這樣，數(shù)學(xué)模型應(yīng)盡量科學(xué)，考慮的全面系統(tǒng)，而不能因為使用數(shù)學(xué)使其與事實不符。數(shù)學(xué)模型的建立最終還應(yīng)回到現(xiàn)實中使用，更好的幫助我們分析問題，解決問題，在實踐中完善數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型，并用以解決實際問題的步驟分為以下五步：

（1）真實的、系統(tǒng)的、完整的反映實際問題；（2）通過分析“數(shù)學(xué)化”現(xiàn)實問題，形成數(shù)學(xué)模型；（3）求解數(shù)學(xué)問題，研究算法；（4）理論驗證，既要有通用性，又要兼顧特殊性；（5）回到實際中去，驗證結(jié)果，完善模型。

2 漢密爾頓數(shù)學(xué)模型

選票分配、議員席位分配、崗位分配等等，都可以歸納為一類數(shù)學(xué)模型，“選配”類數(shù)學(xué)模型。選票、席位分配問題屬于民主政治的范疇，分配是否合理是選民最關(guān)心的熱點問題之一，這一問題早就引起了西方政治家與科學(xué)家的關(guān)注，并進行了大量深入的研究。這項研究大量地使用了數(shù)學(xué)方法。下面通過一個實例來說明漢密爾頓數(shù)學(xué)模型。

例如，2008年奧運會高校志愿者的名額分配。怎樣才能明確合理的分配名額呢，按照規(guī)定可以按照在校學(xué)生人數(shù)分配名額。假定北京需要N名志愿者（必須不能多也不能少，以此來驗證模型的科學(xué)性），再設(shè)北京有S所大學(xué)需要選派志愿者。各校的學(xué)生人數(shù)是pi，i=1，2，3…，s，全市學(xué)生數(shù)是：p=p1+p2+p3+…ps，現(xiàn)在的問題是，找出一組相應(yīng)的整數(shù)n1，n2，…，ns，使得n1+n2+…+ns=N，其中ni是第i個院校志愿者數(shù)。一個簡單的而公平的分配名額的算法就是按比例分配即：

根據(jù)模型要求應(yīng)該實現(xiàn)：

看著很科學(xué)，但現(xiàn)實的情況是不一定是整數(shù)，如果全是整數(shù)，模型成立，現(xiàn)實是大部分不是整數(shù)。現(xiàn)在問題就來了，小數(shù)怎樣取舍，而小數(shù)的取舍直接決定了和N，處理方法決定了各院校志愿者的數(shù)量，同時也決定了是否能保證N不多也不少。

為了簡化對數(shù)學(xué)模型的闡述，將數(shù)量簡化分析。例如奧運會期間需要志愿者200名，從A、B、C三所院校中選擇。如表1、表2所示，采用“四舍五入”的方法，因院校人數(shù)的不同最終的結(jié)果也不同。

同理如果人數(shù)再變化，還有可能最終的志愿者人數(shù)是201。正因為這一缺點，美國喬治時代財政部長亞歷山大·漢密爾頓提出了一種解決分配的辦法，稱為漢密爾頓模型，具體方法如下：

（1）去各院校的整數(shù)部分，先舍去小數(shù)部分；（2）然后根據(jù)各院校的小數(shù)部分，從大到小排序，將剩余的名額分配給由大到小的院校，直到人員名額滿足要求為止。

漢密爾頓方法看起來十分合理，但是仍存在問題。如果小數(shù)部分相等，如果同時加名額，會超出最后的總名額N，如果同時不加名額，又會不足最后的總名額N。當(dāng)然這種情況發(fā)生的概率很低，但仍然存在發(fā)生的可能性，科學(xué)完美的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)盡量避免特殊情況的發(fā)生。針對漢密爾頓數(shù)學(xué)模型存在的這個問題，可以對其進行模型擴展。可以精確到人數(shù)的多少，小數(shù)部分可能精確到1到2位時甚至更多，有可能相等，但是精確到人數(shù)，相等的概率就更小了。同時還可以再擴展到院校的占地面積等等二級、三級因素，這樣完全可以通過科學(xué)合理模型解決實際問題。

3 亞拉巴馬悖論

漢密爾頓數(shù)學(xué)模型符合數(shù)學(xué)的原理，但在實際使用中還是存在悖論，在1880年起，美國國會就漢密爾頓方法的公正合理性展開了爭論，原因是1880年美國人口普查后，亞拉巴馬州發(fā)現(xiàn)漢密爾頓方法觸犯了該州的利益，其后又有其他州提出了相同的問題。按照漢密爾頓方法，各州人口比例不變的話，議員的名額總數(shù)由于某種原因而增加的話，理論上各州的議員名額數(shù)或者不變，或者增加，至少不應(yīng)該減少，可是漢密爾頓數(shù)學(xué)模型卻不能滿足這一常規(guī)。

例如，一次重要會議需要20人的志愿者，需要從三所院校中符合條件的部分學(xué)生中選擇，當(dāng)總量比例不變得情況下，總志愿者名額由20變到21的時候，漢密爾頓模型就違反了“常規(guī)”，例如表3、表4。

從上表我們可以看出，C院校在名額增加的情況下，志愿者名額反而減少了，通常把漢密爾頓方法產(chǎn)生的這一矛盾叫做“亞拉巴馬悖論”。

4 新州悖論

漢密爾頓模型源于美國的議員席位的選定，因此，在美國歷史上有一段時間不斷有新的州加入。設(shè)有一個新的州加入了美利堅合眾國，則總?cè)丝谠黾樱鄳?yīng)的眾議院席位也有所增加。這時原來某個州失去了一個席位，而另一個州增加了一席.雖然原來所有州的人口不變。這種情況稱之為新州悖論。

例如，假設(shè)原先兩州人數(shù)為p1=745，p2=465，理論席位數(shù)為N=4，兩州的席位各占2。當(dāng)?shù)谌菁尤霑r，人口為P3=230，席位為N=5，則各州的議員席位變成n1=3，n2=2，n3=1，第二州在人員沒有變化的情況下，議員席位卻減少了一個，成了數(shù)學(xué)游戲的犧牲品。

5 人口悖論

當(dāng)議員席位數(shù)N不變時，若各州人口有所增長，即使第i州的人口增長率比第j州更大，有時也可能使第i州失去一個席位，而第j州增加一個席位。這種情況稱為“人口悖論”。

例如有三個州人口分別為：p1=500，p2=450，p3=110，總?cè)丝赑=1060，N=3，根據(jù)漢密爾頓數(shù)學(xué)模型三個州各占一個席位。經(jīng)過一段時間過后，各州人口變?yōu)閜1=640，p2=650，p3=150，P=1440，其中第三州人口增長率最大，為36.4%，但此時n1=l，n2=2，n3=0，第三州失去僅存的一個席位。當(dāng)然人口悖論之所以能夠自圓其說，以自身州的人數(shù)為基數(shù)進行計算，因此不是嚴(yán)格意義上得悖論。

6 結(jié)語

由于漢密爾頓數(shù)學(xué)模型存在的問題，繼漢密爾頓數(shù)學(xué)模型以后，使之更合理，新的方法不久就提出來了，例如有“除子法”、“亨廷頓法”、“比例隨機法”等，但每種方法都有它的優(yōu)點和缺點，都存在這樣或那樣的問題。這個問題從誕生之日起，就一直吸引著眾多的科研工作者去研究，1982年巴林斯基在名額分配研究中引進了公理化方法，證明了名額分配的一個不可能定理，即不產(chǎn)生亞拉巴馬悖論、新州悖論、人口悖論，不違反公平分配原則等，在內(nèi)的五條十分合理的公理不相容，論證了滿足這五條公理的名額分配的方法是不存在的。

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