偏微分方程在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用

摘 要：本文介紹了采用偏微分方程方法對圖像進(jìn)行處理和分析的基本框架，以及偏微分方程在研究數(shù)字圖像處理時(shí)的意義和前景。

關(guān)鍵詞：偏微分方程 數(shù)字圖像處理 意義和前景

中圖分類號：G652文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1673-9795（2012）09（b）-0094-01

對圖像進(jìn)行一系列的操作以達(dá)到預(yù)期目的的技術(shù)稱作圖像處理。自20世紀(jì)70年代以來，由于數(shù)字技術(shù)和微電子技術(shù)的迅猛發(fā)展給數(shù)字圖像處理提供了先進(jìn)的技術(shù)手段，基于計(jì)算機(jī)的圖像處理學(xué)也就從信息處理、自動(dòng)控制系統(tǒng)論、計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)據(jù)通信、電視技術(shù)等學(xué)科中脫穎而出，成為研究“圖像信息的獲取、傳輸、存儲、變換、顯示、理解與綜合利用”的一門嶄新學(xué)科。數(shù)字圖像處理常用的方法有：圖像變換、圖像編碼壓縮、圖像增強(qiáng)和復(fù)原、圖像分割、圖像描述等，其中偏微分方程相關(guān)理論在圖像變換中的應(yīng)用最為廣泛。

由于圖像的陣列很大，直接在空間域中進(jìn)行處理，涉及計(jì)算量很大；因此，往往采用各種圖像變換的方法，如傅里葉變換、沃爾什變換、離散余弦變換等間接處理技術(shù)，將空間域的處理轉(zhuǎn)換為變換域處理，不僅可減少計(jì)算量，而且可獲得更有效的處理（如傅里葉變換可在頻域中進(jìn)行數(shù)字濾波處理）。目前新興研究的小波變換在時(shí)域和頻域中都具有良好的局部化特性，它在圖像處理候中也有著廣泛而有效的應(yīng)用。

1.1 圖像的幾何變換

圖像的幾何變換包括圖像的平移變換、比例變換、錯(cuò)切變換、旋轉(zhuǎn)變換、鏡像變換、鏡像變換等。如果對矩陣非常熟悉，將會發(fā)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)這些變換是非常容易的。

1.2 傅里葉變換

1.2.1 連續(xù)傅里葉變換

設(shè)為連續(xù)實(shí)函數(shù)，則它的傅里葉變換可定義為：

一般情況下，是一個(gè)復(fù)數(shù)。如果已知，則其逆變換可由下式給出：

，稱為的逆。這里兩式要求的條件是實(shí)函數(shù)連續(xù)可積，同時(shí)也是可積的。

完全類似地可以定義多個(gè)自變量函數(shù)的傅里葉變換：

1.2.2 二維離散傅里葉變換

對于一個(gè)具有個(gè)樣本值的二維離散函數(shù)

其中，其離散傅里葉變換為：

2 偏微分方程在圖像處理中的意義以及前景

近幾十年，數(shù)字圖像處理技術(shù)在計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展的推動(dòng)下得到了飛速的發(fā)展，從軍事到工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，從航天航海到娛樂技術(shù)，越來越多的領(lǐng)域用到了數(shù)字圖像處理技術(shù)，自然也就吸引了計(jì)算機(jī)學(xué)家以及電子工程師的關(guān)注，但一直未能引起數(shù)學(xué)家的普遍關(guān)注，這種局面導(dǎo)致圖像處理方法所涉及的數(shù)學(xué)理論相對比較少。然而，該領(lǐng)域的巨大市場需求吸引了越來越多的數(shù)學(xué)人的參與，特別是圖像去噪中的相關(guān)技術(shù)，偏微分方程在其上所達(dá)到的高質(zhì)量處理結(jié)果已引起人們廣泛的關(guān)注。近年來，還出現(xiàn)了逆擴(kuò)散方程，高階微分方程，復(fù)數(shù)域擴(kuò)散過程等。這些基于偏微分方程的去噪方法能通過擴(kuò)散系數(shù)的作用，使模型自動(dòng)的在光滑處有較大的光滑性，而在邊緣處有較小的光滑作用，并盡量保證在邊緣處沿邊緣方向進(jìn)行擴(kuò)散，因此，能較好的解決去噪中的邊緣保留與去噪之間的矛盾。此外，在生物醫(yī)學(xué)、遙感航天、工業(yè)以及遠(yuǎn)距離通信、多媒體計(jì)算機(jī)系統(tǒng)及應(yīng)用等領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用中，偏微分方程在數(shù)字成像技術(shù)中的使用正持續(xù)增長。

參考文獻(xiàn)

[1] 賈永紅.計(jì)算機(jī)圖像處理與分析[M].武漢大學(xué)出版社.

[2] Kenneth R.Castleman.數(shù)字圖像處理[M].電子工業(yè)出版社.

[3] 谷超豪.數(shù)學(xué)物理方程[M].高等教育出版社.