一個意外收獲所帶來的啟示

一、單刀直入

新教材人教版九年級下冊101頁第6題：

等腰ABC的一內角是30°，一條邊長是，求它的周長。

當等腰三角形的頂角為30°，底為時，過C作CD⊥AB于D。設DC＝x，則AC=AB＝2x，AD＝x，BD＝2x-x。

在RtDBC中，BC2＝BD2＋CD2，

即。

∴。

∴AC=AB＝2x=。

于是ABC的周長=AB+AC+BC

=。

二、節外生枝

在上面的解答中，我們還能得到這樣Rt的三邊都已知，而且，于是有：

，

我們得到了15°和75°這兩個角的三角函數值。由此可見，除了30°、45°、60°這三個特殊的銳角，它們的三角函數值是一個準確值外，還有15°和75°這兩個角，也是兩個比較特殊的角，而且我們還求出了它們的三角函數準確值。

三、反思提升

上面結論的得來，著實讓人激動。在興奮之余，我們不免要回過頭來，重溫上面的解題過程。它是在一個等腰三角形中，通過做垂線，將它分成兩個直角三角形，再由30°角的直角三角形中邊的關系，使三個三角形的邊產生聯系，從而得到結論。

從上面的解答過程中，設，可得到。于是有：

=

可見，BC=這個條件可有可無，對結果沒有影響，而且沒有這個條件會更好，能減少過程中計算量，對求結果還簡單些。

四、另辟新徑

上面的意外發現，激發了我們的探究熱情，是否還有其他解決方法，吸引我們做進一步探索，把含有30°等腰三角形變成含有30°的直角三角形，情況將會怎樣，我們繼續進行探討。

在RtABC，使，作，DE⊥AB，有，。

設DE=AE=x，則BD=2x，BE=x，AD=x，AB=x，

AC，BC=AB，

。于是有：

，

，

我們把問題放在底角為15°的等腰三角形中再去探究：

過C作CD⊥BA延長線于D，有，設DC=x，則AB=AC=2x，，，以下略。

上面兩例求解的基本思想是，受背景問題中圖形的啟發，從含有特殊角的直角三角形中作出含有15°角的直角三角形，或在含有30°角的三角形中作出含有特殊角的直角三角形，再利用含30°、45°直角三角形中邊的關系，表示出15°角的直角邊長和斜邊長，再求值，過程比較簡單。其實解決方法還遠不止這兩種，我們還能構造出其它圖形，用面積、相似等不同手段來求15°角的兩邊，這里不再一一贅述。

五、弦外之音

這個結論是在一個偶然的情況下發現的，如果沒有解題后的回味與反思，就不可能發現問題。因此，在平時的學習中，我們不能滿足于一個問題的解答，要養成解題后“回頭看”的反思習慣，因為它能使解題過程更加完美，也能加深理解和鞏固所學的知識，提高思維能力和發現問題的能力。另外，從對問題的進一步探究來看，我們變化條件，進行大膽探索，變被動學習為主動學習，培養我們解決問題的能力和創新精神，也讓我們在學習過程中體會到了成功的樂趣，從而進一步激發我們學習數學的熱情，學會學習。