一個(gè)意外收獲所帶來的啟示

一、單刀直入

新教材人教版九年級(jí)下冊(cè)101頁第6題：

等腰ABC的一內(nèi)角是30°，一條邊長是，求它的周長。

當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°，底為時(shí)，過C作CD⊥AB于D。設(shè)DC＝x，則AC=AB＝2x，AD＝x，BD＝2x-x。

在RtDBC中，BC2＝BD2＋CD2，

即。

∴。

∴AC=AB＝2x=。

于是ABC的周長=AB+AC+BC

=。

二、節(jié)外生枝

在上面的解答中，我們還能得到這樣Rt的三邊都已知，而且，于是有：

，

我們得到了15°和75°這兩個(gè)角的三角函數(shù)值。由此可見，除了30°、45°、60°這三個(gè)特殊的銳角，它們的三角函數(shù)值是一個(gè)準(zhǔn)確值外，還有15°和75°這兩個(gè)角，也是兩個(gè)比較特殊的角，而且我們還求出了它們的三角函數(shù)準(zhǔn)確值。

三、反思提升

上面結(jié)論的得來，著實(shí)讓人激動(dòng)。在興奮之余，我們不免要回過頭來，重溫上面的解題過程。它是在一個(gè)等腰三角形中，通過做垂線，將它分成兩個(gè)直角三角形，再由30°角的直角三角形中邊的關(guān)系，使三個(gè)三角形的邊產(chǎn)生聯(lián)系，從而得到結(jié)論。

從上面的解答過程中，設(shè)，可得到。于是有：

=

可見，BC=這個(gè)條件可有可無，對(duì)結(jié)果沒有影響，而且沒有這個(gè)條件會(huì)更好，能減少過程中計(jì)算量，對(duì)求結(jié)果還簡(jiǎn)單些。

四、另辟新徑

上面的意外發(fā)現(xiàn)，激發(fā)了我們的探究熱情，是否還有其他解決方法，吸引我們做進(jìn)一步探索，把含有30°等腰三角形變成含有30°的直角三角形，情況將會(huì)怎樣，我們繼續(xù)進(jìn)行探討。

在RtABC，使，作，DE⊥AB，有，。

設(shè)DE=AE=x，則BD=2x，BE=x，AD=x，AB=x，

AC，BC=AB，

。于是有：

，

，

我們把問題放在底角為15°的等腰三角形中再去探究：

過C作CD⊥BA延長線于D，有，設(shè)DC=x，則AB=AC=2x，，，以下略。

上面兩例求解的基本思想是，受背景問題中圖形的啟發(fā)，從含有特殊角的直角三角形中作出含有15°角的直角三角形，或在含有30°角的三角形中作出含有特殊角的直角三角形，再利用含30°、45°直角三角形中邊的關(guān)系，表示出15°角的直角邊長和斜邊長，再求值，過程比較簡(jiǎn)單。其實(shí)解決方法還遠(yuǎn)不止這兩種，我們還能構(gòu)造出其它圖形，用面積、相似等不同手段來求15°角的兩邊，這里不再一一贅述。

五、弦外之音

這個(gè)結(jié)論是在一個(gè)偶然的情況下發(fā)現(xiàn)的，如果沒有解題后的回味與反思，就不可能發(fā)現(xiàn)問題。因此，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們不能滿足于一個(gè)問題的解答，要養(yǎng)成解題后“回頭看”的反思習(xí)慣，因?yàn)樗苁菇忸}過程更加完美，也能加深理解和鞏固所學(xué)的知識(shí)，提高思維能力和發(fā)現(xiàn)問題的能力。另外，從對(duì)問題的進(jìn)一步探究來看，我們變化條件，進(jìn)行大膽探索，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)我們解決問題的能力和創(chuàng)新精神，也讓我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中體會(huì)到了成功的樂趣，從而進(jìn)一步激發(fā)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。