關于幾何中圖形與空間觀念的探討

新課程改革正在如火如荼地進行著，作為教師，我們也積極地響應了新課改的號召，不斷改革舊的教學觀念，開拓教學新思維，同時也利用課余時間參加了許多教育培訓，進行了系統的學習。近來筆者有幸參加了國家的遠程教育培訓，此次培訓主要針對新課標修訂后初中數學的教學展開了探討，其中，關于幾何中圖形與空間觀念的探討十分精彩。下面，筆者結合諸位教師的觀點并通過自身的實踐，特將自己的所學所感整理出來，以供各位同仁探討和研究。

一、圖形與空間的三條主線及其包含的主要內容

三條主線分別是圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標。其主要內容有：

1.圖形的性質。圖形的概念、性質，圖形與證明，命題的證明，發展學生的空間觀念和推理能力。

2.圖形的變化。合同變換——圖形的軸對稱、平移、旋轉，圖形的相似（包括位似），直角三角形的邊角關系，仿射變換（投影）。從運動的觀點和變化的角度來研究圖形。

3.圖形與坐標。坐標與圖形的位置，坐標與圖形的運動，用坐標的方法刻畫在圖形的變換（軸對稱，平移，位似等）。

二、三條主線與圖形教學的關系

三條主線從不同的角度對幾何圖形進行了研究，可以看作圖形研究不同的三個途徑。

比如對一個三角形或一個平行四邊形，可以用歐式的綜合幾何的角度去認識它，也可以用變換的角度去認識，還可以從坐標的角度去認識它，可以根據學習進度靈活掌握。三條主線豐富了對圖形的理解，使學生更深刻地體會到幾何課程的教育意義。

我們可以從靜態與動態的角度去研究圖形，從獨立的一個圖形與幾個圖形之間的關系來研究圖形。

例如，一個三角形，從靜態可以看成三條線段首尾依次連接而成的圖形，從動態可以看成，一個點作直線運動，拐彎再作直線運動，再拐彎作直線運動并與起點重合。

再例如，七年級學習數軸，從靜態看，有理數與數軸上的點一一對應。也可以從動態看，一個點從原點沿直線向右移動若干個長度單位，新位置的這個點表示什么數？

這樣，我們就能自學地超越教材地去研究圖形，指導平時的教學，指導與設計學生的活動。我們要學習課標思想、理念，自覺地感受，自覺地運用到日常教學中。

三、教學中如何把握圖形的性質中有變化的內容

圖形的性質共分七個部分。第一部分是點、線、面；第二部分是相交線與平行線的概念、定義、性質和判別；第三部分是三角形的概念、邊角的性質、三角形全等的性質和判定、特殊的三角形（等腰三角形和直角三角形）的性質；第四部分是四邊形，主要是平行四邊形、矩形、菱形和正方形的判別和性質；第五部分是圓的概念、圓的中心對稱性和軸對稱性、與圓有關的性質、圓與直線，圓與四邊形，圓與多邊形的關系。第六、七部分是尺規作圖和定義、公理、證明的相關知識。

新教材刪去了梯形。因為平行四邊形和三角形已經作為基本圖形研究得比較充分，且梯形基本知識在小學學過，有關梯形的其他知識，只要把它分割成平行四邊形和三角形來研究就行了，所以梯形問題基本上都解決了，課標修訂稿沒有再單獨把它列入教學內容當中。

我個人認為：如果學生基礎較差，可以用一、兩節課幫助學生回憶小學中的梯形知識，并引導學生將梯形轉化為三角形和平行四邊形。教學與考查中可以將梯形作為活動的平臺（例如動點在等腰梯形的邊上運動），讓學生利用圖形轉化（轉化成三角形與平行四邊形），探索梯形的一些問題。但不要過于復雜，也不要將原來有關梯形的所有內容又重新拾起來。

新教材總結了并強調了尺規作圖。除了介紹作圖方法外，更重要的是運用了圖形判定方法，實際上是對圖形判定的一個具體應用。同時運用尺規作圖，也能探索圖形的一些性質。

基本事實擴充為9條。對于一些定理，都應該是通過觀察、操作、實驗等手段先探索，再邏輯證明。相似的問題放到圖形的變化中再講，合情推理與邏輯推理的問題放到幾何的三個核心概念中再講。

研究圖形，一是研究圖形自身元素之間的關系，比如三角形的內角和等于180度；二是研究不同圖形之間的關系，研究兩個圖形（多個圖形）之間的關系，如全等、相似，還有圖形之間所具有的旋轉、平移等關系。

四、對空間觀念的認識及如何在教學中培養學生的空間觀念

空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。

空間觀念的核心要素是想象。從能力方面看，就是學生的空間想象能力。如何培養學生的空間觀念呢？這是一個觀察、想象、比較、綜合、抽象分析、認識客觀事物的過程。

首先是觀察，包括觀察實物與觀察抽象的圖形。觀察時要抓住實物的特征，圖形的特殊元素，突出物體之間、圖形的元素之間、圖形與圖形之間的空間聯系（相同與異同、位置與數量等）。對圖形的觀察能力是指對概括化、形式化的空間結構和邏輯模式的識別能力。

二是活動，僅靠觀察是不夠的，還要讓學生通過動手操作去感受。通過看一看、比一比、量一量、想一想、畫一畫、折一折、剪一剪、拼一拼等活動，把知識內容與空間形成統一起來，建立幾何概念，促使學生形成空間表象。

三是聯系生活，引導學生將已有的空間感與現實生活密切聯系起來。學生的生活實際是理解和發展空間觀念的重要資源。培養空間觀念要將學生視野拓寬到生活空間，充分利用學生身邊的事物，引導學生探索圖形的特征，豐富空間與圖形的經驗。例如，切胡蘿卜，形成各種斷面。

教學中要注意：第一，空間觀念的培養貫穿于整個幾何教學過程中。無論是一維的，還是二維、三維的空間，即使是對直線兩端無限延伸的這種想象，對角的想象，都能培養空間觀念。當然二維與三維之間的轉化是很主要的途徑，但不是唯一的。

第二，觀察、活動實踐、聯系生活、抽象地想象是相互聯系、相互滲透的，不能動手、不動腦。要在觀察與活動中思考，在思考中動手實踐。有時也可以先想象、再操作，在操作中修正原來的想象。例如，四邊形的兩條對角線具有什么關系時，這個四邊形是特殊的四邊形，可以用兩根木棒代替對角線，用橡皮筋代替四邊形的邊，通過想象、操作、觀察、驗證，得到結論，再給予邏輯上的證明。

第三，動靜結合。不要總是觀察和想象靜止的事物與圖形，還要觀察與想象運動中的事物與圖形。要用運動的觀點來看靜止的事物或圖形，用瞬間靜止的狀態來看動態的事物與圖形。例如，探索平行線的判定方法時，兩條直線與第三條直線相交可以用三根木條代替，轉動與第三條木條相交的兩根木條，看看它的何時他們平行，觀察平行時的什么角有什么數量關系。