幾何體中的“切”與“接”

幾何體和旋轉體之間的“切”與“接”的問題，是學習立體幾何的一個難點，也是高考中常考的一類問題。究其原因主要是圖形較復雜，不好畫，畫出來了也不好看，分析起來必然會碰到困難，另一方面是切與接的兩個幾何體之間的線元素不知哪里發生關系，也增加了問題的難度。

針對這種情況，解決“切”與“接”的問題，首先要明確切與接的位置在哪里，準確定位而毫不含糊，其次要找出這兩個幾何體的線元素的關系，為此可以采用兩種轉化的方法：一是轉化為包含其主要的一個剖面圖即平面圖形之間的內切或外接關系；二是利用分割的方法進行轉化，使運算和推理變得更簡單，體現數學中的轉化化歸思想是立體幾何中非常重要的思想方法。

例1.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的8個頂點都在球O的表面上，EF分別是AA1、DD1的中點，求直線EF被球O截得的線段長。（如圖1）

解析：正方體與球相接于8個頂點，設EF與球面交于M、N，則直線EF被球截得的線段長為弦長MN。經過M、N、O作一個平面，與球面相交得大圓，產生如2圖所示的剖面圖。要求MN只要求出它的一半即可，易知球心到弦長的距離OK=，正方體外接球的直經為正方體的體對角線長。

∴

∴

例2.若正方體的棱長為，求以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積。

解析：正方體與凸多面體的頂點相接于正方體的中心，由正方體的對稱性可知，任意兩個面的中心的連線長度相等，所以所得凸多面體為共底的兩個特殊正四棱錐，且其棱長均為1，如圖3，在正四棱錐P-O1O2O3O4中，底面O1O2O3O4為正方形，易得面積是1，在三角形PO1O3中，可求得高OK=。

∴VP-O1O2O3O4=

從而多面體的體積是

例3.如圖4球面上三點A、B、C組成這個球的一個截面的內接三角形，AC=15，BC=12，AB=9，且球心到該截面的距離為球半經的一半，那么球的體積為 。A、C兩點間的球面距離為 。

解析：球面上兩點間的距離，就是這兩點和球心構成的球心角所對的大圓的劣弧長。設球O的半徑為R，球面上兩點A、C的球心角，則A、C兩點間的球面距離為（其中為弧度數），所以只要求出的大小和球的半經R即可。設過A、B、C三點的球截面為⊙O1。由已知易得為△ABC直角三角形，且∠B為直角，所以AC為截面圓O1的直經，從而球半經，∴在△AOC中，由余弦定理求得，

∴體積

AC兩點的球面距離為

例4.一個球與一個正三棱的三個側面和兩底面都相切，已知這個球的體積是，那么這個三棱柱的體積是（ ）。

A B C D

解析：如圖5一個球與一個正三棱的三個側面和兩底面都相切，那么正三棱柱ABC-A1B1C1的內切球的球心在兩底面中心連線O1O上且為它的中點。所以球直徑是正三棱柱的高，設球的半徑為R，則O1O=2R，由已知得∴R=2，球心到側面的距離是底面正三角形ABC的高AD的，∴AD=6

由得

∴S△ABC

∴正三棱柱ABC-A1B1C1的體積是

V=S△ABC.O1O

∴選D